2．将函数定义为“由曲线确定的关系”：“在 平面上徒手画出来的曲线所表示的y与 之间的关系．”

1．将函数定义为“解析表示式”他写道：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的．”

3．已知函数 ，求 ．

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函数史话

　设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作 当集合A，B都是非空的数的集合，且B的每一个元素都有原象时，这样的映射 就叫定义域A到值域B上的函数．

　笛卡儿引入变量后，随之而来的便是函数的概念．他指出y和 是变量(“未知量和未定的量”)的时候，也注意到y依赖于而变 ．这正是函数思想的萌芽．但是他没有使用“函数”这个词．

　“函数”这个词用作数学的术语，最早是莱布尼茨，但其含义和现在不同，他指的是关于曲线上某点的一些线段的长(如横坐标、纵坐标、弦、切线、法线等)．

　1718年，瑞士数学家约翰·贝努利给出函数的一个定义，同时第一次使用了“变量”这个词．他写道“变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量．”

　“函数”这个概念随着数学的不断发展而变化．历史上每个阶段，都有它相应的定义．

　18世纪，欧拉曾经前后给出函数的三种定义：

2．已知函数 的定义域为 ，求 的定义域．

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关于复合函数

　高中数学对函数的研究主要类型有常见函数(七类)，由上述常见函数构成的复合函数，由常见函数做四则运算而得到的函数及实际生产生活中产生的函数．其中重点是前两类．常见函数在课本中都将系统研究，而复合函数在课本中没有给出定义，所以在这里我们对复合函数做点介绍．

　一般来说，如果 是 的函数，而 又是 的函数，即 ，那么 关于 的函数 叫做 和 的复合函数．，其中 叫做中间变量．

　在复合函数 中，自变量是 ， 是中间变量，因变量是 ， 是通过中间变量与自变量 间接建立起函数关系的．如 就可以看作反比例函数 与二次函数 复合而成，如果给出函数 ， ，它们就可以复合成一个以 为自变量 为因变量的函数关系即 ．在刚才形成这个复合函数的函数关系的过程实际上就是一个换元的过程，而且处理复合函数的很多问题都需要用换元法去处理．有了复合函数的概念，下列问题我们就都可以解决了．

1．已知函数 求 ．

3. 对函数符号的认识

2. 对函数三要素的认识

1. 函数的定义

4．对函数符号 的理解(板书)

　首先让学生知道 与 的含义是一样的，它们都表示 是 的函数，其中 是自变量， 是函数值，连接的纽带是法则 ，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体．下面我们举例说明．

　例3 已知函数 试求 (板书)

　分析：首先让学生认清 的含义，要求学生能从变量观点和映射观点解释，再进行计算．

　含义1：当自变量 取3时，对应的函数值即 ；

　含义2：定义域中原象3的象 ，根据求象的方法知 ．而 应表示原象 的象，即 ．

　计算之后，要求学生了解 与 的区别， 是常量，而 是变量， 只是 中一个特殊值．

　最后指出在刚才的题目中 是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的函数 不一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进一步研究．

3．函数的三要素及其作用(板书)

　函数是映射，自然是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．

　例1 以下关系式表示函数吗?为什么?

　(1) ；　　　　 (2) ．

　解：(1)由 有意义得 ，解得 ．由于定义域是空集，故它不能表示函数．

　(2) 由 有意义得 ，解得 ．定义域为 ，值域为 ．

　由以上两题可以看出三要素的作用

　(1)判断一个函数关系是否存在．(板书)

　例2 下列各函数中，哪一个函数与 是同一个函数．

　(1) ；　 (2) 　 (3) ；　 (4) ．

　解：先认清 ，它是 (定义域)到 (值域)的映射，其中

　　 ．

　再看(1)定义域为 且 ，是不同的；　 (2)定义域为 ，是不同的；

　(4) ，法则是不同的；

　而(3)定义域是 ，值域是 ，法则是乘2减1，与 完全相同．

　求解后要求学生明确判断两个函数是否相同应看定义域和对应法则完全一致，这时三要素的又一作用．

　(2)判断两个函数是否相同．(板书)

　下面我们研究一下如何表示函数，以前我们学习时虽然会表示函数，但没有相系统研究函数的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从函数记号 说起．