3．甲、乙两车以相同的速率V₀在水平地面上相向做匀速直线运动，某时刻乙车先以大小为a的加速度做匀减速运动，当速率减小到0时，甲车也以大小为a的加速度做匀减速运动。为了避免碰车，在乙车开始做匀减速运动时，甲、乙两车的距离至少应为：

　A．　　　　　 B． 　　　　　C． 　　　　　D． 　。

2．一球由空中自由下落，碰到桌面立刻反弹，则V-t图象为图17中的(取向上为正)

1.甲、乙两辆汽车沿平直公路从某地同时同向驶向同一目的地，甲车在前一半时间内以速度V₁做匀速运动，后一半时间内以速度V₂做匀速运动；乙车在前一半路程中以速度V₁做匀速运动，在后一半路程中以速度V₂做匀速运动，且V₁≠V₂ ，则：

A．甲先到达；　　　　　　　　 B．乙先到达；　　　

C．甲、乙同时到达；　　　　　 D．无法比较。

典型错误之一：盲目地套用公式计算“汽车”刹车的位移。

例21、飞机着陆做匀减速运动可获得a=6m/s²的加速度，飞机着陆时的速度为V₀=60m/s,求它着陆后t=12s内滑行的距离。

错解：将t=12s代入位移公式得：288m.

分析纠错：解决本问题时应先计算飞机能运动多长时间，才能判断着陆后t=12s内的运动情况。

设飞机停止时所需时间为t₀,由速度公式V_t=V₀-at₀得t₀=10s.

可见，飞机在t=12s内的前10s内做匀减速运动，后2s内保持静止。所以有：

典型错误之二：错误理解追碰问题的临界条件。

例22、 经检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行使时，制动后40s停下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行使发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行使，司机立即制动，能否发生撞车事故？

错解： 设汽车A制动后40s的位移为s₁，货车B在这段时间内的位移为S₂。据

有A车的加速度为：a=-0.5m/s².据匀变速直线运动的规律有：

而S₂=V₂t=6×40=240(m)，两车位移差为400-240=160(m)，因为两车刚开始相距180m＞160m，所以两车不相撞。

分析纠错：这是典型的追击问题。关键是要弄清不相撞的条件。汽车A与货车B同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据。当两车同速时，两车位移差大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞。而错解中的判据条件错误导致错解。

本题也可以用不等式求解：设在t时刻两物体相遇，则有：

，即：。

因为，所以两车相撞。

典型错误之三：参考系的选择不明确。

例23、航空母舰以一定的速度航行，以保证飞机能安全起飞，某航空母舰上的战斗机起飞时的最大加速度是a=5.0m/s²,速度须达V=50m/s才能起飞，该航空母舰甲板长L=160m,为了使飞机能安全起飞，航空母舰应以多大的速度V₀向什么方向航行？

错解：据得。

分析纠错：上述错解的原因是没有明确指出参考系，速度、位移不是在同一参考系中得到的量。若以地面为参考系，则飞机的初速度为V₀，末速度为V=50m/s，飞机的位移为S=L+V₀t,则根据匀变速直线的规律可得：，V=V₀+at。

代入数据求得：V₀=10m/s.

即航空母舰应与飞机起飞方向相同至少以10m/s的速度航行。

若以航空母舰为参考系，则飞机的初速度为零，位移为L，设末速度为V₁，则据匀变速直线的规律可得：。

所以V₀=V-V₁=10m/s.即航空母舰应与飞机起飞方向相同至少以10m/s的速度航行。

典型错误之四：对由公式求得“结果”不能正确取舍。

例24、汽车以20m/s的速度做匀速运动，某时刻关闭发动机而做匀减速运动，加速度大小为5m/s²，则它关闭发动机后通过t=37.5m所需的时间为(　 )

A.3s;　　　　　　 B.4s　　　　　 C.5s　　　　　 D.6s

错解：设汽车初速度的方向为正方向，即V₀=20m/s,a=－5m/s²,s=37.5m.

　　　 则由位移公式得：

解得：t₁=3s,t₂=5s.即A、C二选项正确。

分析纠错：因为汽车经过t₀=已经停止运动，4s后位移公式已不适用，故t₂=5s应舍去。即正确答案为A。

典型错误之五：忽视位移、速度和加速度的矢量性。

例25、竖直向上抛出一物体，已知其出手时的速度是5m/s,经过3s，该物体落到抛出点下某处，速度为25m/s,已知该物体在运动过程中加速度不变，求该加速度的大小及方向。

错解：由题意知V₀=5m/s,V_t=25m/s,所以加速度a=(V_t-V₀)/t=6.67m/s².

分析纠错：由于速度是矢量，处理同一直线上的矢量运算，必须先选定正方向，将矢量运算转化为代数运算。

取向上为正方向，由题意知：V₀=5m/s,V_t=－25m/s,所以加速度a=(V_t-V₀)/t=－10m/s².

加速度为负，表示加速度的方向与正方向相反，即a的方向竖直向下。

典型错误之六：不能正确理解运动图象。

　 例26、一质点沿直线运动时的速度-时间图线如图16所示，则以下说法中正确的是：

A．第1s末质点的位移和速度都改变方向。

B．第2s末质点的位移改变方向。

C．第4s末质点的位移为零。

D．第3s末和第5s末质点的位置相同。

错解：选B、C。

分析纠错：速度图线中，速度可以直接从纵坐标轴上读出，其正、负就表示速度方向，位移为速度图线下的“面积”，在坐标轴下方的“面积”为负。

由图16中可直接看出，速度方向发生变化的时刻是第2s末、第4s末，而位移始终为正值，前2s内位移逐渐增大，第3s、第4s内又逐渐减小。第4s末位移为零，以后又如此变化。第3s末与第5s末的位移均为0.5m.故选项CD正确。

所以正确答案是选项C、D。

1、追及和相遇问题的特点

追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系。若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发Δt，则运动时间关系为t_甲=t_乙+Δt。要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。

2.竖直上抛运动的特征量：(1)上升最大高度：S_m=.(2)上升最大高度和从最大高度点下落到抛出点两过程所经历的时间：.

例13、气球以10m/s的速度匀速竖直上升，从气球上掉下一个物体，经17s到达地面。求物体刚脱离气球时气球的高度。(g=10m/s²)

分析与解：可将物体的运动过程视为匀变速直线运动。规定向下方向为正，则物体的

初速度为V₀=－10m/s,g=10m/s²

　则据h=,则有：

∴物体刚掉下时离地1275m。

例14、一跳水运动员从离水面10 m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中心，跃起后重心升高0．45 m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)。从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中动作的时间是　　　s。(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点。g取10 m /s²，结果保留二位数字)

分析与解：设运动员跃起时的初速度为V₀，且设向上为正，则由V²₀=2gh得：

由题意而知：运动员在全过程中可认为是做竖直上抛运动，且位移大小为10m，方向向下，故S=－10m.

由得：,解得t=1.7s.

问题8.注意弄清追及和相遇问题的求解方法。

问题1：注意弄清位移和路程的区别和联系。

位移是表示质点位置变化的物理量，它是由质点运动的起始位置指向终止位置的矢量。位移可以用一根带箭头的线段表示，箭头的指向代表位移的方向，线段的长短代表位移的大小。而路程是质点运动路线的长度，是标量。只有做直线运动的质点始终朝着一个方向运动时，位移的大小才与运动路程相等。

例1、一个电子在匀强磁场中沿半径为R的圆周运动。转了3圈回到原位置，运动过程中位移大小的最大值和路程的最大值分别是：

A．2R，2R；　　　　　　　 B．2R，6πR；　　　

　　 C．2πR，2R；　　　　　　 D．0，6πR。

分析与解：位移的最大值应是2R，而路程的最大值应是6πR。即B选项正确。

问题2.注意弄清瞬时速度和平均速度的区别和联系。

瞬时速度是运动物体在某一时刻或某一位置的速度，而平均速度是指运动物体在某一段时间或某段位移的平均速度，它们都是矢量。当时，平均速度的极限，就是该时刻的瞬时速度。

例2、甲、乙两辆汽车沿平直公路从某地同时驶向同一目标，甲车在前一半时间内以速度V₁做匀速直线运动，后一半时间内以速度V₂做匀速直线运动；乙车在前一半路程中以速度V₁做匀速直线运动，后一半路程中以速度V₂做匀速直线运动，则(　 )。

A．甲先到达；B.乙先到达；　 C.甲、乙同时到达；　 D.不能确定。

分析与解：设甲、乙车从某地到目的地距离为S，则对甲车有;对于乙车有

，所以，由数学知识知,故t_甲<t_乙，即正确答案为A。

问题3.注意弄清速度、速度的变化和加速度的区别和联系。

加速度是描述速度变化的快慢和方向的物理量，是速度的变化和所用时间的比值，加速度a的定义式是矢量式。加速度的大小和方向与速度的大小和方向没有必然的联系。只要速度在变化，无论速度多小，都有加速度；只要速度不变化，无论速度多大，加速度总是零；只要速度变化快，无论速度是大、是小或是零，物体的加速度就大。

加速度的与速度的变化ΔV也无直接关系。物体有了加速度，经过一段时间速度有一定的变化，因此速度的变化ΔV是一个过程量，加速度大，速度的变化ΔV不一定大；反过来，ΔV大，加速度也不一定大。

例3、一物体作匀变速直线运动,某时刻速度的大小为4m/s,1s后速度的大小变为10m/s.在这1s内该物体的(　　 ).

(A)位移的大小可能小于4m　　　 (B)位移的大小可能大于10m

(C)加速度的大小可能小于4m/s²　 (D)加速度的大小可能大于10m/s².

分析与解：本题的关键是位移、速度和加速度的矢量性。若规定初速度V₀的方向为正方向，则仔细分析“1s后速度的大小变为10m/s”这句话，可知1s后物体速度可能是10m/s，也可能是-10m/s,因而有：

同向时，

反向时，

式中负号表示方向与规定正方向相反。因此正确答案为A、D。

问题4.注意弄清匀变速直线运动中各个公式的区别和联系。

　加速度a不变的变速直线运动是匀变速直线运动，是中学阶段主要研究的一种运动。但匀变速直线运动的公式较多，不少同学感觉到不易记住。其实只要弄清各个公式的区别和联系，记忆是不困难的。

加速度的定义式是“根”，只要记住“”，就记住了“V_t=V₀+at”;

基本公式是“本”，只要记住“V_t=V₀+at”和“”，就记住了“”和；

推论公式是“枝叶”，一个特征：，物理意义是做匀变速直线运动的物体在相邻相等时间间隔内位移差相等；二个中点公式：时间中点，位移中点；三个等时比例式：对于初速度为零的匀加速直线运动有，S₁：S₂：S₃……=1:4:9……，S_Ⅰ：S_Ⅱ：S_Ⅲ……=1:3:5……,V₁:V₂:V₃……=1:2:3……；两个等位移比例式：对于初速度为零的匀加速直线运动有，和

例4、.一汽车在平直的公路上以做匀速直线运动，刹车后，汽车以大小为的加速度做匀减速直线运动，那么刹车后经8s汽车通过的位移有多大？　

　　　 分析与解：首先必须弄清汽车刹车后究竟能运动多长时间。选V₀的方向为正方向，则根据公式，可得

　　　 这表明，汽车并非在8s内都在运动，实际运动5s后即停止。所以，将5s代入位移公式，计算汽车在8s内通过的位移。即

不少学生盲目套用物理公式，“潜在假设”汽车在8s内一直运动，根据匀减速直线运动的位移公式可得：

　　　 这是常见的一种错误解法，同学们在运用物理公式时必须明确每一个公式中的各物理量的确切含义，深入分析物体的运动过程。

例5、物体沿一直线运动，在t时间内通过的路程为S，它在中间位置处的速度为V₁，在中间时刻时的速度为V₂，则V₁和V₂的关系为(　 )

A．当物体作匀加速直线运动时，V₁＞V₂;　 B.当物体作匀减速直线运动时，V₁＞V₂;

C．当物体作匀速直线运动时，V₁=V₂;　　 D.当物体作匀减速直线运动时，V₁＜V₂。

分析与解：设物体运动的初速度为V₀，未速度为V_t，由时间中点速度公式得；由位移中点速度公式得。用数学方法可证明，只要，必有V₁>V₂;当，物体做匀速直线运动，必有V₁=V₂。所以正确选项应为A、B、C。

例6、一个质量为m的物块由静止开始沿斜面下滑，拍摄此下滑过程得到的同步闪光(即第一次闪光时物块恰好开始下滑)照片如图1所示．已知闪光频率为每秒10次，根据照片测得物块相邻两位置之间的距离分别为AB＝2.40cm，BC＝7.30cm，CD＝12.20cm，DE＝17.10cm．由此可知，物块经过D点时的速度大小为________m/s；滑块运动的加速度为________．(保留3位有效数字)

分析与解：据题意每秒闪光10次，所以每两次间的时间间隔T=0.1s,根据中间时刻的速度公式得.

根据得,所以2.40m/s².

问题5.注意弄清位移图象和速度图象的区别和联系。

运动图象包括速度图象和位移图象，要能通过坐标轴及图象的形状识别各种图象，知道它们分别代表何种运动，如图2中的A、B分别为V-t图象和s-t图象。

其中：1是匀速直线运动，2是初速度为零的匀加速直线运动，3是初速不为零的匀加速直线运动，4是匀减速直线运动。

同学们要理解图象所代表的物理意义，注意速度图象和位移图象斜率的物理意义不同，S-t图象的斜率为速度，而V-t图象的斜率为加速度。

例7、龟兔赛跑的故事流传至今，按照龟兔赛跑的故事情节，兔子和乌龟的位移图象如图3所示，下列关于兔子和乌龟的运动正确的是

A．兔子和乌龟是同时从同一地点出发的　 　　　　　　　　

B．乌龟一直做匀加速运动，兔子先加速后匀速再加速

C．骄傲的兔子在T₄时刻发现落后奋力追赶，但由于速度比乌龟的速度小，还是让乌龟先到达预定位移S₃

D．在0-T₅时间内，乌龟的平均速度比兔子的平均速度大

　 分析与解：从图3中看出，0-T₁这段时间内，兔子没有运动，而乌龟在做匀速运动，所以A选项错；乌龟一直做匀速运动，兔子先静止后匀速再静止，所以B选项错；在T₄时刻以后，兔子的速度比乌龟的速度大，所以C选项错；在0-T₅时间内，乌龟位移比兔子的位移大，所以乌龟的平均速度比兔子的平均速度大，即D选项正确。

例8、两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度均为V₀,若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行的距离为s,若要保证两辆车在上述情况中不相撞,则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为:

(A)s 　　 (B)2s　　 　　　 (C)3s　 　　　 (D)4s

分析与解:依题意可作出两车的V-t图如图4所示，从图中可以看出两车在匀速行驶时保持的距离至少应为2s,即B选项正确。

例 9、一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC,如图5所示。已知AB和AC的长度相同。两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间：

　　　 A.p小球先到　　　　　 B.q小球先到　　

C.两小球同时到　　　　　　　　 D.无法确定

分析与解：可以利用V-t图象(这里的V是速率，曲线下的面积表示路程s)定性地进行比较。在同一个V-t图象中做出p、q的速率图线，如图6所示。显然开始时q的加速度较大，斜率较大；由于机械能守恒，末速率相同，即曲线末端在同一水平图线上。为使路程相同(曲线和横轴所围的面积相同)，显然q用的时间较少。

例10、两支完全相同的光滑直角弯管(如图7所示)现有两只相同小球a和a^/ 同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？(假设通过拐角处时无机械能损失)　　　

分析与解：首先由机械能守恒可以确定拐角处V₁> V₂，而两小球到达出口时的速率V相等。又由题意可知两球经历的总路程s相等。由牛顿第二定律，小球的加速度大小a=gsinα，小球a第一阶段的加速度跟小球a^/第二阶段的加速度大小相同(设为a₁)；小球a第二阶段的加速度跟小球a^/第一阶段的加速度大小相同(设为a₂)，根据图中管的倾斜程度，显然有a₁> a₂。根据这些物理量大小的分析，在同一个V-t图象中两球速度曲线下所围的面积应该相同，且末状态速度大小也相同(纵坐标相同)。开始时a球曲线的斜率大。由于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达(经历时间为t₁)则必然有s₁>s₂，显然不合理。如图8所示。因此有t₁< t₂，即a球先到。

问题6.注意弄清自由落体运动的特点。

自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。

例11、 一个物体从塔顶上下落，在到达地面前最后1s内通过的位移是整个位移的9/25，求塔高。(g取10m/s²)

分析与解： 设物体下落总时间为t，塔高为h，则：

　　 ,

　 由上述方程解得：t=5s,所以，

例12、如图9所示，悬挂的直杆AB长为L₁，在其下L₂处，有一长为L₃的无底圆筒CD，若将悬线剪断，则直杆穿过圆筒所用的时间为多少？

分析与解：直杆穿过圆筒所用的时间是从杆B点落到筒C端开始，到杆的A端落到D端结束。

设杆B落到C端所用的时间为t₁,杆A端落到D端所用的时间为t₂,由位移公式得：

，

所以，。

问题7.注意弄清竖直上抛运动的特点。

竖直上抛运动是匀变速直线运动，其上升阶段为匀减速运动，下落阶段为自由落体运动。它有如下特点：

1.上升和下降(至落回原处)的两个过程互为逆运动，具有对称性。有下列结论：

(1)速度对称：上升和下降过程中质点经过同一位置的速度大小相等、方向相反。

(2)时间对称：上升和下降经历的时间相等。

(二)、匀变速直线运动公式

1.常用公式有以下四个：,, 　

⑴以上四个公式中共有五个物理量：s、t、a、V₀、V_t，这五个物理量中只有三个是独立的，可以任意选定。只要其中三个物理量确定之后，另外两个就唯一确定了。每个公式中只有其中的四个物理量，当已知某三个而要求另一个时，往往选定一个公式就可以了。如果两个匀变速直线运动有三个物理量对应相等，那么另外的两个物理量也一定对应相等。

⑵以上五个物理量中，除时间t外，s、V₀、V_t、a均为矢量。一般以V₀的方向为正方向，以t=0时刻的位移为零，这时s、V_t和a的正负就都有了确定的物理意义。

2.匀变速直线运动中几个常用的结论

①Δs=aT ²，即任意相邻相等时间内的位移之差相等。可以推广到s_m-s_n=(m-n)aT ²

②，某段时间的中间时刻的即时速度等于该段时间内的平均速度。

　　，某段位移的中间位置的即时速度公式(不等于该段位移内的平均速度)。

可以证明，无论匀加速还是匀减速，都有。

3.初速度为零(或末速度为零)的匀变速直线运动

做匀变速直线运动的物体，如果初速度为零，或者末速度为零，那么公式都可简化为：　

　　 　，　 　，　 　，　

以上各式都是单项式，因此可以方便地找到各物理量间的比例关系。

4.初速为零的匀变速直线运动

①前1s、前2s、前3s……内的位移之比为1∶4∶9∶……

②第1s、第2s、第3s……内的位移之比为1∶3∶5∶……

③前1m、前2m、前3m……所用的时间之比为1∶∶∶……

④第1m、第2m、第3m……所用的时间之比为1∶∶()∶……

5、自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，竖直上抛运动是匀减速直线运动，可分向上的匀减速运动和竖直向下匀加速直线运动。

(一)、基本概念

1.质点--用来代替物体的有质量的点。(当物体的大小、形状对所研究的问题的影响可以忽略时，物体可作为质点。)

2.速度--描述运动快慢的物理量，是位移对时间的变化率。

3.加速度--描述速度变化快慢的物理量，是速度对时间的变化率。

4.速率--速度的大小，是标量。只有大小，没有方向。

5.注意匀加速直线运动、匀减速直线运动、匀变速直线运动的区别。