6、向量法：

例8 、设,为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量,若向量,

,且. (1)求点的轨迹的方程;

(2)过点(0,3)作直线与曲线交于两点,设,是否存在这样的直线,使得四边形是矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由。

例9、设点A和B为抛物线 (p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

沙城中学补习班数学第一轮复习学案　　　 编录：刘世亮

轨迹方程作业

5、交轨法；它常常适用于出现需求两曲线交点的轨迹方程问题 ，解此类问题往往需借助解方程组得出含有某参数的交点坐标，再消去参数而得到所求动点的轨迹方程。

例7、抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。

4、引参消参法； 若题目出现当动点运动所受限制条件较多，不易直接建立x、y的某种联系，但且发现x、y同时受到另外一个变量t(如角度、斜率、截距等)的制约而将它们用t表示，然后通过消去变量t而得到所要求的动点的轨迹方程f(x, y)=0。

例6、过点M(-2, 0)作直线L交双曲线于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB。求动点P的轨迹方程。

3、相关点法；若动点P(x, y)依赖于某已知曲线上的另一个动点P(x,y)而运动，且x, y可用x, y表示，则将P(x,y)代入已知曲线，求出P点的轨迹方程。此法也称代入法或转移法。

例4、定点A(3,0)为圆外一定点，P为圆上任一点，(除出圆与x轴的交点), ∠POA的平分线交PA于点Q, 求出Q点的轨迹方程。

例5．如图所示，过椭圆E：上任一点P，作右准线的垂线PH，垂足为H。延长PH到Q，使(1)当P点在E上运动时，求点Q的轨迹G的方程；(2)当取何值时，轨迹G是焦点在平行于轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆上，并写出椭圆的方程；(3)当取何值时，轨迹G是一个圆？判断这个圆与椭圆的右准线的位置关系。

2、定义法；若动点轨迹直接符合已知圆锥曲线定义，则可直接利用定义写出其方程。

例2、已知定点A(0，7)、B(0，-7)、C(12，2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程.

例3、已知圆O：及点A(2, 0)，求过A且与圆O相切的诸圆圆心P的轨迹方程。

1、直译解析法；该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。

例1设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，P是上满足的点，求点P的轨迹方程。

4.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是　 　　.　

典例剖析

例1　　　 已知在多面体ABCDEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，

平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则这个多面体的体积为　　 (　 B　 )　

?A.2　 　　　　　　　　 ?B.4　　　　　　　　　 C.6　　　　　　　　　　 D.8　

例2①已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，则球的半径等于　 　　，球的表面积等于　 54　　 .　

②设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且二面角B-OA-C的大小为，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是(C?　 )　

?A.?　　　　　　 B. ?　　　　　　　　　 C. ?　　　　　　　　　 D. 　

例3①P、Q为斜三棱柱相对棱上的点，若AQ=PC₁，则多面体B-ACPQ的体积是三棱柱体积的　　 ( B　　 )　

?A.?　　　　　　　　　 B.?　　　　　　　　 C.?　　　　　　　　 D.　

②设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( A　　 )　

?A.?　　　　　　　　 B.?　　　　　　 C.?　　　　　　 D.　

③长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA₁=1，则顶点A、B间的球面距离是 (　 C　 )?A.? 　　　　　　　 B.　?　　　　　　 C. ?　　　　　　　　　 D.　

④长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各顶点都在球O的球面上，其中AB∶AD∶AA₁=1∶1∶，A、B两点的球面距离记为m，A、D₁两点的球面距离记为n，则的值为　 1：2　　　 .

例4已知三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC、△PEF都是正三角形，PF⊥AB.

(1)证明：PC⊥平面PAB；　(2)求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；　

(3)若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上，求△ABC的边长.　

(1)证明　 连结CF，∵PE=EF　=BC=AC，∴AP⊥PC.　

∵CF⊥AB，PF⊥AB，　CF∩PF=F.　∴AB⊥平面PCF.　

∵PC平面PCF，　∴PC⊥AB.　又∵AP∩AB=A，　∴PC⊥平面PAB.　　　　　　　　　　

(2)方法一　 ∵AB⊥PF，AB⊥CF，　∴∠PFC为所求二面角的平面角.　

设AB=a，则PF=EF=，CF=.　∴cos∠PFC=.　

方法二　 设P在平面ABC内的射影为O.　∵△PAF≌△PAE，∴△PAB≌△PAC，　

得PA=PB=PC，于是O是△ABC的中心.　∴∠PFO为所求二面角的平面角.　

设AB=a，则PF=，OF=·.　∴cos∠PFO=.　

(3)方法一　 设PA=x，球半径为R.　∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB，∴=2R.　

∵=，∴R=，得x=2.　∴△ABC的边长为.

方法二延长PO交球面于D，则PD是球的直径.连结OA、AD，得△PAD为直角三角形，设AB=x，球半径为R.　∵=，∴PD=，　∵PO=OFtan∠PFO=，OA=，　

∴，于是x=2.　∴△ABC的边长为2.　

　例4如图，三个12×12 cm的正方形，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片(如图(1))，把6片粘在一个正六边形的外面(如图(2))，然后折成多面体(如图(3))，求此多面体的体积.　

解法一： 补成一个正方体，如图甲，V=V_正方体­=×12³=864 cm³.

甲　　　　　　　　　 乙

解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V_大三棱锥－3V_小三棱锥=864 cm³.

解法三：如图(3)7设C是所在棱的中点，截面CDE把几何体截成两部分，沿DE把上部分翻转过来可拼成正方体的下一半.

　例5已知球的半径为，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?

3.球面上有三点，任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这三个点的小圆周长为，那么这个球的半径为(B)

?A. 　　　　 B.? 　　　　 C.2?　 　　　 D.　

2.把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，折成直二面角后，在A，B，C，D四点所在的球面上，

B与D两点之间的球面距离为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( C　　 )　?A.　　　 　　 B.　　　　　　　　　　　　 C. ?　　　　　　　 D.　

1.正方体的全面积为24，球O与正方体的各棱均相切，球O的体积是　　　　　　　 ( D　　 )　

?　　　　　 A.?　　 　　 B.?　　 　　 C. 　　 D.