3．求值常用的方法：切割化弦法、升幂降幂法、辅助元素法、“1”的代换法等．

第6课时　 　三角函数的恒等变形

2．要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，熟悉几种常见的入手方式：

① 变换角度　　

② 变换函数名　　

③ 变换解析式结构

1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在;

4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[]、[0，π]、()的角．

例1. (1)化简：

　　 (2)化简：

解：∵

　 ＝　 ∴原式

=

变式训练1：已知，若，则 可化简为　　　　　 ．

解：

例2. 已知，α∈[，]，求(2α+)的值．

解法一：由已知得(3sinα+2cosα) (2sinα－cosα)＝0

3sinα+2cosα＝0或2sinα－cosα＝0

由已知条件可知cosα≠0　 ∴α≠即α∈(,π)

∴tanα＝－

sin(2α+)＝sin2αcos+cos2αsin

＝sinαcosα+(cos²α－sin²α)

＝

＝

＝

解法二：由已知条件可知cosα≠0　 则α≠

从而条件可化为　 6 tan²α+tanα－2＝0

∵α∈(,π)　 解得tanα＝－(下同解法一)

变式训练2：在△ABC中，，，，求A的值和△ABC的面积．

解：∵sinA+cosA＝　　 ①

∵2sinAcosA＝－

从而cosA＜0　　 A∈()

∴sinA－cosA＝

＝　　 ②

据①②可得　 sinA＝　 cosA＝

∴tanA＝－2－

S_△ABC＝

例3. 已知tan(α－β)＝，β＝-，且α、β∈(0，)，求2α－β的值.

解：由tanβ＝－　 β∈(0，π)

得β∈(, π)　　　　　　 ①

由tanα＝tan[(α－β)+β]＝　　 α∈(0，π)

得0＜α＜　　 ∴ 0＜2α＜π

由tan2α＝＞0　　 ∴知0＜2α＜　　 ②

∵tan(2α－β)＝＝1

由①②知　 2α－β∈(－π，0)

∴2α－β＝－

(或利用2α－β＝2(α－β)+β求解)

变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．

解：由sinα＝　 α为第二象限角

∴cosα＝－

∴

＝＝－

例4．已知．

(1)求tanα的值；

(2)求的值．

解：(1)由

得　 解得tanα＝－3或

又，所以为所求．

(2)原式：

变式训练4：已知(<α<)，试用k表示sin－cos的值．

解：∵

∴k＝2sinαcosα

∵(sinα－cosα)²＝1－k

又∵α∈()　　 ∴sinα－cosα＝

3．求值问题的基本类型及方法

① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．

② “给值求值”即给出某些角的三角函数(式)的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；

③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．

2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．

1．三角函数式的化简的一般要求：

① 函数名称尽可能少；

② 项数尽可能少；

③ 尽可能不含根式；

④ 次数尽可能低、尽可能求出值．

3．对三角函数式的变形有以下常用的方法：

① 降次(常用降次公式)

② 消元(化同名或同角的三角函数)

③ 消去常数“1”或用“1”替换

④ 角的范围的确定

2．要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)．

1．二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；