4．函数y＝Asin(ωx+)(A>0，ω>0)的单调区间的确定的基本思想是把(ωx+)看作一个整体，再利用正弦函数的单调区间解出x即为所求．若ω<0，可用诱导公式变为y＝－Asin(－ωx－)再仿照以上方法解之.

3．求周期一般先将函数式化为y＝Af(ωx+)(f为三角函数)，再用周期公式求解．

2．求函数值域的问题一方面要熟悉求值域的一般方法和依据，另一方面要注意三角函数的有界性．

1．求三角函数的定义域既要注意一般函数求定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，如常常丢掉使tanx有意义的x≠nπ+(n∈Z)．

2．函数y＝sinx的对称性与周期性的关系．

⑴ 若相邻两条对称轴为x＝a和x＝b，则T＝　　 ．

⑵ 若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则T＝　　 ．

⑶ 若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴x＝b，则T＝　　　　 ．

注：该结论可以推广到其它任一函数．

例1. 化简f (x)＝cos()+cos()+2sin(+2x)(x∈R，k∈Z)．并求f (x)的值域和最小正周期．

解：(1) f(x) ＝2sin(ax+)(0＜a＜1)

由于f(x)·g(x)最小正周期相同

得＝　 即a＝2m

又f(1)＝2g(1)　 即2sin(a+)＝2tan(m+)

把a＝2m代入得sin(2m+)＝tan(m+)

∴2sin(m+)cos(m+)＝

∴sin(m+)＝0或cos(m+)＝±

当sin(m+)＝0时，m＝k－(k≠z)，这与0＜m＜1矛盾．

当cos(m+)＝±时，m＝k+或m＝k－(k∈z)，现由0＜m＜1时得m＝故a＝

∴f(x)＝2sin(x+)，g(x)＝tan(x+)

(2) 由2k－≤x+≤2k+得

x∈[12k－5，12k+1]

∴f(x)的单调递增区间为[12k－5，12k+1]　 (k∈z)

变式训练1：已知函数 ；

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．

解：(1)

＝

＝

∴

(2)当f(x)取最大值时，sin(2x－)＝1

有2x－＝2k+　 即x＝k+(k∈z)

故所求x的集合为

例2已知函数f (x)＝

⑴ 求f (x)的定义域．

⑵ 用定义判断f (x)的奇偶性．

⑶ 在[－π，π]上作出函数f (x)的图象．

⑷ 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间．

解：(1) 由1+cos2x＞0得2cos²x＞0

∴cosx≠0即x≠kπ+，(k∈z)

∴函数f (x)的定义域为{x｜x≠kπ+，k∈z｜}

(2)∵定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x，

f (－x)＝

∴f (x)为奇函数.

(3) f (x)＝又x∈[－π，π]

且x≠－

∴f(x)＝

f (x)的图象如右：

(4) 由图知，f(x)的最小正周期为2π．

f (x)的单调递增区间是()(k∈z)

变式训练2：求下列函数的定义域：

(1)y=lgsin(cosx);(2)y=.

解 　(1)要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0.

∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.

方法一　 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-+2k＜x＜+2k,k∈Z}.

方法二　 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1,

∴OM只能在x轴的正半轴上，

∴其定义域为

.

(2)要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.

方法一　 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2］上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.

在［0，2］内，满足sinx=cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2,

所以定义域为.

方法二　 利用三角函数线，

如图MN为正弦线，OM为余弦线，

要使sinx≥cosx,即MN≥OM，

则≤x≤(在［0，2］内).

∴定义域为

.

方法三　 sinx-cosx=sin≥0，

将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质

可知2k≤x-≤+2k,

解得2k+≤x≤+2k,k∈Z.

所以定义域为.

例3设函数，，已知f(x)、g(x)的最小正周期相同，且2(g)＝f(1)；

(1)试确定f(x)、g(x)的解的式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝2cos²+sinx+b

　　　　　　　　　 ＝

∴递增区间为[2kπ－](k∈z)

(2)∵f (x)＝a(sinx+cosx)+a+b＝

而x∈[0，π]，x+∈[]

∴sin(x+)∈[]

∴　　 ∴

变式训练3：已知函数f (x)＝(sinx－cosx)

⑴ 求它的定义域和值域；

⑵ 求它的单调区间；

⑶ 判断它的奇偶性；

⑷ 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．

解：(1) 由题意得：sinx－cosx＞0即sin(x－)＞0

从而得2kπ+＜x＜2kπ+π

函数的定义域为()(k∈z)

∵0＜sin(x－)≤1　　 ∴0＜sinx－cosx≤

即(sinx－cosx)≥＝－故函数f (x)的值域为[－，+∞]

(2) ∵sinx－cosx＝sin(x－)在f(x)的定义域上的单调递增区间为()(k∈z)，单调递减区间为[](k∈z)

(3) ∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称．

∴f(x)是非奇非偶函数．

(4) ∵f(x+2π)＝[sin(x+2π)－cos(x+2π)]

＝ (sinx－cosx)＝f(x)

∴f (x)函数的最小正周期T＝2π

例4.已知函数y＝acosx+b的最大值为1，最小值是－3，试确定＝b sin(ax+)的单调区间．

解：(1)若a＞0，则a+b＝1，－a+b＝－3，

∴ a＝2，b＝－1，此时，＝－sin(2x+)

单调增区间为[kπ+，kπ+] (k∈z)

单调减区间为[kπ－，kπ+] (k∈z)

(2) 若a＜0，则－a+b＝1，a+b＝－3，

∴ a＝－2，b＝－1，

单调增区间为[kπ－，kπ+] (k∈z)

单调减区间为[kπ+，kπ+] (k∈z)

变式训练4：某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t<24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：

t(时)	0	3	6	9	12
y(米)	10	13	9.9	7	10
t(时)	15	18	21	24
y(米)	13	10.1	7	10

经过长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωx+b的图象．

(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；

(2)一般情况下，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底中需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果希望该船在一天内安全进出港，请问，它至多在港里停留多长时间(忽略进出港所需的时间)？

解：(1) 由已知数据，易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10

∴y＝3sint＝10

(2) 由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5＝11.5(米)

∴3sint+10≥11.5　 sint≥

解得2k+≤t≤2k+

即12k+1≤t≤12k+5　　 k∈z

在同一天内，取k＝0或1．

∴1≤t≤5　 或　 13≤t≤17

∴该船最早能在凌晨1时进港，最迟下午17时出港，在港内最多能停留16小时．

1．三角函数的性质

2．给出图象求解析式y＝Asin(ωx+)+B的难点在于ω、的确定，本质为待定系数法，基本方法是：⑴ “五点法”运用“五点”中的一点确定．

⑵ 图像变换法，即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由零点或最值点确定T→ω．

第8课时　　 三角函数的性质

1．图象变换的两种途径

⑴ 先相位变换后周期变换

y＝sinx y＝sin(x+) y＝sin(ωx+)

⑵ 先周期变换后相位变换

y＝sinx y＝sinωxy＝sinω (x+)

4．函数y＝Asin(ωx+)的图象与函数y＝sinx的图象关系．

振幅变换：y＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都　　　　　 ，(A>1)或　　　 (0<A<1)到原来的　　　　 倍(横坐标不变)而得到的．

周期变换：y＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点的横坐标　　　 (ω>1)或　　　　　　 (0<ω<1)到原来的　　　 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y＝sinx周期为2π，故y＝sinωx(ω>0)的周期为　　　　 ．

相位变换：y＝sin(x+)(≠0)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点向　　　　 (>0)或向　　　 (<0)平移　　　 个单位而得到的．

由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx+)的图象主要有下列两种方法：

或

说明：前一种方法第一步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移　　 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(>0)或向右(<0)平移　　 个单位．

例1.已知函数y＝Asin(ωx+)(A>0，ω>0)

⑴ 若A＝3，ω＝，＝－，作出函数在一个周期内的简图．

⑵ 若y表示一个振动量，其振动频率是，当x＝时，相位是，求ω和．

解：(1) y＝3sin()列表(略)图象如下：

	0		π		2π
x
y	0	3	0	－3	0

　(2)依题意有：

　　 ∴

变式训练1：已知函数y=2sin,

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.

解　 (1)y=2sin的振幅A=2,周期T==，初相=.

(2)令X=2x+,则y=2sin=2sinX.

列表，并描点画出图象：

x	-
X	0				2
y=sinX	0	1	0	-1	0
y=2sin(2x+)	0	2	0	-2	0

(3)方法一　 把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin的图象，再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y=sin的图象，最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y=2sin的图象.

方法二　 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；

再将y=sin2x的图象向左平移个单位；

得到y=sin2=sin的图象；再将y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin的图象.

例2已知函数y=3sin

(1)用五点法作出函数的图象；

(2)说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；

(3)求此函数的振幅、周期和初相；

(4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

解 　(1)列表：

x
	0				2
3sin	0	3	0	-3	0

描点、连线,如图所示：

(2)方法一　 “先平移，后伸缩”.

先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin的图象；再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到

y=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin的图象.

方法二　 “先伸缩，后平移”

先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位，

得到y=sin(x-)=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin的图象.

(3)周期T===4，振幅A=3，初相是-.

(4)令=+k(k∈Z),

得x=2k+(k∈Z),此为对称轴方程.

令x-=k(k∈Z)得x=+2k(k∈Z).

对称中心为 (k∈Z).

变式训练2：已知函数 的最小正周期为π且图象关于对称；

(1) 求f(x)的解析式；

(2) 若函数y＝1－f(x)的图象与直线y＝a在上中有一个交点，求实数a的范围．

解：(1)

∵w∈R　

当w＝1时，　 此时不是它的对称轴

∴w＝－1

(2)

如图：∵直线y＝a在上与y＝1－f(x)图象只有一个交点　 ∴或a＝1

例3．如图为y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式.

解　 方法一　 以N为第一个零点，

则A=-，T=2=，

∴=2，此时解析式为y=-sin(2x+).

∵点N，∴-×2+=0，∴=，

所求解析式为y=-sin.　　　 　　 ①

方法二　 由图象知A=，

以M为第一个零点，P为第二个零点.

列方程组 解之得.

∴所求解析式为y=sin.　　　 ②

变式训练3：函数y=Asin(x+)(＞0,||＜ ,x∈R)的部分图象如图，则函数表达式为(　 　)

A. y=-4sin　　　 B. y=-4sin

C. y=4sin　　　 D. y=4sin

答案 　B

例4．设关于x的方程cos2x+sin2x＝k+1在[0，]内有两不同根α，β，求α+β的值及k的取值范围．

解：由cos2x+sin2x＝k+1得　　 2sin(2x+)＝k+1

即sin(2x+)＝

设c: y＝sin(2x+)，l: y＝，在同一坐标系中作出它们的图象(略)

由图易知当＜1时, 即0≤k＜1时

直线l与曲线c有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可以看出α、β关于x＝对称.。故α+β＝

变式训练4.已知函数f (x)＝sin(ωx+)(ω>0，0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(π，0)对称，且在区间[0，]上是单调函数，求和ω的值．

解：由f (x)是偶函数，得f(－x)＝f (x)即sin(－x+)＝sin(x+)

∴－cossinx＝cossinx对任意x都成立，且＞0， cos＝0

依题意设0≤≤π　 ∴＝

由f(x)的图象关于点M对称，

得f(－x)＝－f (+x)

取x＝0得f ()＝－f ()　 f ()＝0

∴f()＝sin(+)＝cos＝0

又＞0得＝+kπ

＝(2k+1)　　 (k＝0，1，2……)

当k＝0时，＝　 f (x)＝sin()在[0，]上是减函数；

当k＝1时，＝2　 f (x)＝sin(2x+)在[0，]上是减函数；

当k≥2时，≥　 f (x)＝sin(x)在[0，]上不是减函数；

∴＝或＝2

3．“五点法”作y＝Asin(ωx+)(ω>0)的图象．

令x'＝ωx+转化为y＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象．