3、直线和圆锥曲线位置关系

(1)位置关系判断：△法(△适用对象是二次方程，二次项系数不为0)。

其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

(2)直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。

　当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。

2、三种圆锥曲线的研究

　 (1)统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：，其中F为定点，d为P到定直线的l距离，Fl，如图。

因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。

当0<e<1时，点P轨迹是椭圆；当e>1时，点P轨迹是双曲线；当e=1时，点P轨迹是抛物线。

　 (2)椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF₁|+|PF₂|=2a，2a>|F₁F₂|>0，F₁、F₂为定点}，双曲线{P|||PF₁|-|PF₂||=2a，|F₁F₂|>2a>0，F₁，F₂为定点}。

　 (3)圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。

①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上

椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。

②定量：

	椭　　 圆	双 曲 线	抛 物 线
焦　 距	2c
长轴长	2a	--
实轴长	--	2a
短轴长	2b
焦点到对应 准线距离	P=2	p
通径长	2·	2p
离心率		1
基本量关系	a2=b2+c2	C2=a2+b2

　 (4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变)

举焦点在x轴上的方程如下：

	椭　　 圆	双 曲 线	抛 物 线
标准方程	(a>b>0)	(a>0，b>0)	y2=2px(p>0)
顶　 点	(±a，0) (0，±b)	(±a，0)	(0，0)
焦　 点	(±c，0)	(，0)
准　 线	X=±	x=
中　 心	(0，0)
有界性	|x|≤a |y|≤b	|x|≥a	x≥0
焦半径	P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点
|PF1|=a+ex0 　|PF2|=a-ex0	P在右支时： 　|PF1|=a+ex0 　 |PF2|=-a+ex0 P在左支时： 　|PF1|=-a-ex0 　 |PF2|=a-ex0	|PF|=x0+

总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

1、上一章已经复习过解析几何的基本问题之一：如何求曲线(点的轨迹)方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

3、求轨迹方程的常规方法。

2、直线和圆锥曲线位置关系。

1、三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等。

(三)解答题

14、已知y=2x是△ABC中∠C平分线所在直线方程，A(-4，2)，B(3，1)，求点C坐标，并判断△ABC形状。

15、已知n条直线：x-y+c_i=0(i=1，2，…，n)，其中C₁=，C₁<C₂<C₃<…<C_n，且每相邻两条之间的距离顺次为2，3，4，…，n，(1)求C_n；(2)求x-y+C_n=0与坐标轴围成的三角形面积：(3)求x-y+C_n-1=0与x-y+C_n=0与x轴、y轴围成的图形面积。

16、已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，(1)求证：(a-2)(b-2)=2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求△AOB面积的最小值。

17、已知两圆x²+y²=4和x²+(y-8)²=4，(1)若两圆分别在直线y=x+b两侧，求b取值范围；(2)求过点A(0，5)且和两圆都没有公共点的直线的斜率k的范围。

18、当0<a<2时，直线l₁：ax-2y-2a+4=0与l₂：2x+a²y-2a²-4=0和坐标轴成一个四边形，要使围成的四边形面积最小，a应取何值？

(二)填空题

　　 9、直线ax+by+c=0与直线dx+ey+c=0的交点为(3，-2)，则过点(a，b)，(d，e)的直线方程是___________________。

10、已知{(x，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，则直线(m+3)x+y=

3m+4与坐标轴围成的三角形面积是__________________。

11、已知x，y满足，则x-y的最大值为________，最小值为________。

12、过点A(2，1)，且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。

13、已知圆：(x-1)²+y²=1，作弦OA，则OA中点的轨迹方程是__________________。

(一)选择题

1、若直线(m²-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m取值范围是

A、-1<m≤　　　 B、≤m≤1　　 C、<m<1　　　 D、≤m≤1

2、已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为，则m值为

A、　 或-3　　　 B、-3或　　　　 C、-3或3　　　　 D、或3

3、点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是

A、　 2　　　　　　 B、　　　　　　 C、　　　　　 D、

4、过点A(1，4)，且横纵截距的绝对值相等的直线共有

A、　 1条　　　　　 B、2条　 　　　　　C、3条　　　　　 D、4条

5、圆x²+y²-4x+2y+C=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=90⁰，则C的值是

A、　 -3　　　　　 　B、3　　　　　　 C、　　　　　 D、8

　　 6、若圆(x-3)²+(y+5)²=r²上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r取值范围是

A、　 (4，6)　　　 B、[4，6)　　　　 C、(4，6]　　　　 D、[4，6]

　　 7、将直线x+y-1=0绕点(1，0)顺时针旋转后，再向上平移一个单位，此时恰与圆x²+(y-1)²=R²相切，则正数R等于

A、　 　　　　　　　B、　　　　　 C、1　　　　　　 D、

8、　 方程x²+y²+2ax-2ay=0所表示的圆

A、关于x轴对称　　　　　　　　　 　　B、关于y轴对称

C、关于直线x-y=0对称　　　　　　　 D、关于直线x+y=0对称

例1、已知定点P(6，4)与定直线l₁：y=4x，过P点的直线l与l­₁交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线l方程。

分析：

直线l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q(还是M)作为参数是本题关键。

通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。

设Q(x₀，4x₀)，M(m，0)

∵ Q，P，M共线

∴ k_PQ=k_PM

∴

解之得：

∵ x₀>0，m>0

∴ x₀-1>0

∴

令x₀-1=t，则t>0

　 ≥40

当且仅当t=1，x₀=11时，等号成立

此时Q(11，44)，直线l：x+y-10=0

评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S_△OQM的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。

例2、已知△ABC中，A(2，-1)，B(4，3)，C(3，-2)，求：

　 (1)BC边上的高所在直线方程；(2)AB边中垂线方程；(3)∠A平分线所在直线方程。

分析：

　 (1)∵ k_BC=5

∴ BC边上的高AD所在直线斜率k=

∴ AD所在直线方程y+1=(x-2)

即x+5y+3=0

　 (2)∵ AB中点为(3，1)，k_AB=2

∴ AB中垂线方程为x+2y-5=0

　 (3)设∠A平分线为AE，斜率为k，则直线AC到AE的角等于AE到AB的角。

∵ k_AC=-1，k_AB=2

∴

∴ k²+6k-1=0

∴ k=-3-(舍)，k=-3+

∴ AE所在直线方程为(-3)x-y-2+5=0

评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(x，y)为直线AE上任一点，则P到AB、AC距离相等，得，化简即可。还可注意到，AB与AC关于AE对称。

例3、(1)求经过点A(5，2)，B(3，2)，圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；

　 (2)设圆上的点A(2，3)关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程。

分析：

研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。

(1)法一：从数的角度

若选用标准式：设圆心P(x，y)，则由|PA|=|PB|得：(x₀-5)²+(y₀-2)²=(x₀-3)²+(y₀-2)²

又2x₀-y₀-3=0

两方程联立得：，|PA|=

∴ 圆标准方程为(x-4)²+(y-5)²=10

若选用一般式：设圆方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，则圆心()

∴

解之得：

法二：从形的角度

AB为圆的弦，由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上，则由得圆心P(4，5)

∴ 半径r=|PA|=

显然，充分利用平几知识明显降低了计算量

(2)设A关于直线x+2y=0的对称点为A’

由已知AA’为圆的弦

∴ AA’对称轴x+2y=0过圆心

设圆心P(-2a，a)，半径为R

则R=|PA|=(-2a-2)²+(a-3)²

又弦长，

∴

∴ 4(a+1)²+(a-3)²=2+

∴ a=-7或a=-3

当a=-7时，R=；当a=-3时，R=

∴ 所求圆方程为(x-6)²+(y+3)²=52或(x-14)²+(y+7)²=244

例4、已知方程x²+y²-2(m+3)x+2(1-4m²)y+16m⁴+9=0表示一个圆，(1)求实数m取值范围；(2)求圆半径r取值范围；(3)求圆心轨迹方程。

分析：

　 (1)m满足[-2(m+3)]²+[2(1-4m²)]²-4(16m⁴+9)>0，即7m²-6m-1<0

∴

(3)半径r=

　∵

　∴ 时，

　∴ 0<r≤

　 (3)设圆心P(x，y)，则

消去m得：y=4(x-3)²-1

又

∴

∴ 所求轨迹方程为(x-3)²=(y+1)()

例5、如图，过圆O：x²+y²=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线l，M为l上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求△MAQ垂心P的轨迹方程。

分析：

从寻找点P满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。

连OQ，则由OQ⊥MQ，AP⊥MQ得OQ∥AP

同理，OA∥PQ

又OA=OQ

∴ OAPQ为菱形

∴ |PA|=|OA|=2

设P(x，y)，Q(x₀，y₀)，则

又x₀²+y₀²=4

∴ x²+(y-2)²=4(x≠0)

评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。

同步练习