2．数形结合思想。解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的。即：将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。

[例题解析]

例1　 已知圆(x+4)²+y²=25的圆心为M₁，圆(x-4)²+y²=1的圆心为M₂，一动圆与这两个圆都外切。

(1)求动圆圆心P的轨迹方程；

(2)若过点M₂的直线与(1)中所求轨迹有两个交点A、B，求|AM₁|·|BM₁|的取值范围。

解　 (1)∵|PM₁|-5=|PM₂|-1，∴|PM₁| - |PM₂|=4

∴动圆圆心P的轨迹是以M₁、M₂为焦点的双曲线的右支。

c=4，a=2，b²=12，

故所求轨迹方程为－=1(x≥2)。

(2)当过M₂的直线倾斜角不等于时，设其斜率为k，

直线方程为　 y=k(x-4)

与双曲线　 3x²-y²-12=0联立，消去y化简得

(3-k²)x²+8k²x-16k²-12=0

又设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，x₁>0，x₂>0

由

解得　 k²>3。

由双曲线左准线方程　 x=-1且e=2，有

|AM₁|·|BM₁|=e|x₁+1|·e|x₂+1|

=4[x₁x₂+(x₁+x₂)+1]

=4(++1)

=100+

∵k²-3>0，∴|AM₁|×|BM₁|>100

又当直线倾斜角等于时，A(4，y₁)，B(4，y₂)，

|AM₁|=|BM₁|=e(4+1)=10

|AM₁|·|BM₁|=100

故　 |AM₁|·|BM₁|≥100。

例2　 如图9-1，已知圆C：(x+4)²+y²=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0)。

(1)若点D坐标为(0，3)，求∠APB的正切值；

(2)当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；

(3)在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由。

解　 (1)∵|CD|==5，(O为原点)且圆D与圆C外切，

∴圆D半径r=5-2=3，

此时，A、B坐标分别为(0，0)、(0，6)，

∴PA在x轴上，且BP的斜率k=2，

∴tan∠APB=2。

(2)如图9-2，设D的坐标为(0，a)，圆D的半径为r，则(r+2)²=16+a²。　　　　　　　 ①

设PA、PB的斜率为k₁、k₂，又A、B的坐标分别为(0，a-r)、(0，a+r)。则

k­₁=，k­₂=，

∴tan∠APB==　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ②

由①解出a²代入②，得tan∠APB==+，而8r-6为单调增函数，r∈[2，+∞。

∴tan∠APB∈(，

∠APB的最大值为arttan。

(3)假设存在Q点，设Q(b，0)，QA、QB的斜率分别为k₁，k₂，则k₁=，k₂=，

tan∠AQB=||=||=||

将a²=(r+2)² – 16代入上式，得

tan∠AQB=||=||

欲使∠AQB大小与r无关，则应有b²=12，即b=±2，

此时tan∠AQB=，∠AQB=60°。

∴存在Q点，当圆D变动时，∠AQB为定值60°，这Q点坐标为(±2，0)。

例3　 设正方形ABCD(A、B、C、D顺时针排列)的外接圆方程为x²+y²-6x+a=0(a<9)，C、D点所在直线l的斜率为。

(1)求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；

(2)如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；

(3)如果ABCD的外接圆半径为2，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程。

解　 (1)由(x-3)²+y²=9-a(a<9)可知圆心M的坐标为(3，0)，依题意：

∠ABM=∠BAM=，k_AB=。

∴MA，MB的斜率k满足：||=1，

解得：k_AC= -，k_BD=2。

(2)设MB、MA的倾斜角分别为θ₁、θ₂，则tanθ₁=2，tanθ₂= -，

可以推出：cosθ₁=， sinθ₁=，cosθ₂= -，sinθ₂=。

再设|MA|=|MB|=r，则A(3-r，r)，B(3+r， r)。

设抛物线方程为y²=2px(p>0)，由于A，B两点在抛物线上，

∴　　 解出：r=，p=。

得抛物线方程为y²=x。

由此可知A点坐标为(1，1)，且A点关于M(3，0)的对称点C的坐标是(5，-1)，

∴直线l的方程为y -(-1)=(x-5)，

即x-3y-8=0。

(3)将圆方程(x-3)²+y²=(2)²分别与AC、BD的直线方程：

y= -(x-3)，y=2(x-3)联立，可解得A(-1，2)，B(5，4)。

设抛物线方程为y²=a(x-m)　 (*)

将A(-1，2)、B(5，4)的坐标代入(*)，得

解得：a=2，m= -3，

∴抛物线的方程为y²=2(x+3)。

A(-1，2)点关于M(3，0)的对称点为C(7，-2)，

故直线l的方程为y-(-2)=(x-7)，即x-3y-13=0。

例4　 如图9-3，已知：射线OA为y=kx(k>0，x>0)，射线OB为y= -kx(x>0)，动点P(x，y)在∠AOx的内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四边形ONPM的面积恰为k.

(1)当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；

(2)根据k的取值范围，确定y=f(x)的定义域。

解　 (1)设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)。

则|OM|=a，|ON|=b。

由动点P在∠AOx的内部，得0<y<kx。

∴|PM|==，|PN |==

∴S_{四边形ONPM}=S_△ONP+S_△OPM

=(|OM|·|PM|+|ON|·|PN|)

=[a(kx-y)+b(kx+y)]

=[k(a+b)x - (a-b)y]=k

∴k(a+b)x-(a-b)y=2k　　　　　 ①

又由k_PM= -=， k_PN==，

分别解得a=，b=，

代入①式消a、b，并化简得x²-y²=k²+1。

∵y>0，∴y=

(2)由0<y<kx，得

0<<kx

　　　 (*)

当k=1时，不等式②为0<2恒成立，

∴(*)x>。

当0<k<1时，由不等式②得x²<，x<，

∴(*)<x<。

当k>1时，由不等式②得x²>，且<0，

∴(*)x>

但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件

y<x，将它代入函数解析式，得

<x

解得<x< (k>1)，或x∈k(0<k≤1)。

综上：当k=1时，定义域为{x|x>}；

当0<k<1时，定义域为{x|<x<};

当k>1时，定义域为{x|<x<}。

例5　 已知函数f(x)=x²-1(x≥1)的图像为C₁，曲线C₂与C₁关于直线y=x对称。

(1)求曲线C₂的方程y=g(x)；

(2)设函数y=g(x)的定义域为M，x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂，求证|g(x₁)-g(x₂)|<|x₁-x₂|;

(3)设A、B为曲线C₂上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交。

解　 (1)曲线C₁和C₂关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数。

∵y=x²-1，x²=y+1，又x≥1

∴x=

则曲线C₂的方程为g(x)= (x≥0)。

(2)设x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂。

则x₁-x₂≠0。又x₁≥0， x₂≥0，

∴|g(x₁)-g(x₂)|=| 　-|

=

≤<|x₁-x₂|

(3)设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)为曲线C₂上任意不同两点。

x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂，

由(2)知，|k_AB|=||=<1

∴直线AB的斜率|k_AB|≠1，

又直线y=x的斜率为1，

∴直线AB与直线y=x必相交。

例6　 已知⊙O′过定点A(0，p)(p>0)，圆心O′在抛物线x²=2py上运动，MN为圆O′截x轴所得的弦，令|AM|=d₁，|AN|=d₂，∠MAN=θ。

(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；

(2)求+的最大值，并求取得最大值的θ值。

解　 (1)设O′(x₀，y₀)，则x₀²=2py₀ (y₀≥0)，⊙O′的半径|O′A|=，⊙O′的方程为(x-x₀)²+(y-y₀)²=x₀²+(y₀-p)²。令y=0，并把x₀²=2py₀代入得x²-2x₀x+x₀²-p²=0，解得x_M=x₀ – p，x_N=x₀+p，∴|MN|=| x_N – x_M|=2p为定值。

(2)∵M(x₀-p，0) ，N(x₀+p，0)　 ∴d₁=，d₂=，则d₁²+d₂²=4p²+2x₀²，d₁d₂=，∴+===2=

2≤2=2

当且仅当x₀²=2p²，即x=±p，y₀=p时等号成立，∴+的最大值为2。

此时|O′B|=|MB|=|NB|(B为MN中点)，又O′M=O′N，

∴△O′MN为等腰直角三角形，∠MO′N=90°，则θ=∠MO′N=45°。

例7　 已知函数y=log₂(n∈N)。

(1)当n=1，2，3…时，把已知函数的图像和直线y=1的交点的横坐标依次记为a₁， a₂， a₃，…，求证a₁+ a₂+ a₃+…+ a_n<1；

(2)对于每一个n的值，设A _n、B _n为已知函数的图像上与x轴距离为1的两点，求证n取任意一个正整数时，以A _n B _n为直径的圆都与一条定直线相切，并求出这条定直线的方程和切点的坐标。

解　 原函数可化为：y=logx。

(1)y=1时，可求得x=()ⁿ，即a_n=()ⁿ⁼()^n-1，

∴{a_n}是以为首项，为公比的等比数列。

∴a₁+ a₂+ a₃+…+ a_n==1-<1

(2)同理可以求A_n、B_n的横坐标，可得A_n、B_n的坐标分别为(，1)和(2ⁿ，-1)，因此| A_nB_n |==2ⁿ+，

因此A_nB_n中点C到y轴距离=，

∴以C为圆心、A_nB_n为直径的圆必与定直线y轴相切，这条定直线的方程为x=0。由点C的纵坐标为0，可知从点C到y轴作垂线的垂足就是原点，即切点，所以切点坐标为(0，0))。

例8　 自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x²+y²-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程。(1989年全国高考数学试题)

解法一　 已知圆的标准方程是

(x-2)²+(y-2)²=1，它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)²+(y+2)²=1。设光线L所在的直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定)，由题设知对称圆的圆心C′(2，-2)到这条直线的距离等于1，即d==1。整理得　 12k²+25k+12=0，解得k= -或k= -。故所求直线方程是y-3= -(x+3)，或y-3= -(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。

解法二　 已知圆的标准方程是(x-2)²+(y-2)²=1，设交线L所在的直线的方程是

y-3=k(x+3)(其中斜率k待定)，由题意知k≠0，于是L的反射点的坐标是(-，0)，因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L′所在直线的方程为y= -k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d==1。以下同解法一。

例9　 设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程。(1997年全国高考数学试题)

解法一　 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|。由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，∴圆P截x轴所得的弦长为r，故r²=2b²。又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r²=a²+1。从而得2b²-a²=1。又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，所以5d²=|a-2b|²=a²+4b²-4ab≥a²+4b² -2(a²+b²)=2b²-a²=1，当且仅当a=b时，上式等号成立，从而要使d取得最小值，则应有，解此方程组得或。又由r²=2b²知r=。于是，所求圆的方程是(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2。

解法二　 同解法一得d=，∴a-2b=±d，得a²=4b²±bd+5d²　　　 ①

将a²=2b²-1代入①式，整理得2b²±4bd+5d²+1=0　 ②　 把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d²-1)≥0，得5d²≥1。所以5d²有最小值1，从而d有最小值。将其代入②式得2b²±4b+2=0，解得b=±1。将b=±1代入r²=2b²得r²=2，由r²=a²+1得a=±1。综上a=±1，b=±1，r²=2。由|a-2b|=1知a，b同号。于是，所求圆的方程是(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2。

1．公式法。求直线和圆的方程要正确运用公式解题。各种位置关系的判断要灵活使用各种结论。

12．两圆的位置关系的判定方法。

设两圆圆心分别为O₁、O₂，半径分别为r₁，r₂，|O₁O₂|为圆心距，则两圆位置关系如下：

|O₁O₂|>r₁+r₂两圆外离；

|O₁O₂|=r₁+r₂两圆外切；

| r₁-r₂|<|O₁O₂|< r₁+r₂两圆相交；

| O₁O₂ |=| r₁-r₂|两圆内切；

0<| O₁O₂|<| r₁-r₂|两圆内含。

11．直线与圆的位置关系的判定方法。

(1)法一：直线：Ax+By+C=0；圆：x²+y²+Dx+Ey+F=0。

一元二次方程

(2)法二：直线:Ax+By+C=0；圆：(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心(a，b)到直线的距离为

d=

10．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围。

(1)圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径；

(2)圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F>0)，圆心坐标为(-，-)，半径为r=。

9．点到直线的距离公式。

(1)已知一点P(x₀，y₀)及一条直线l：Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离d=；

(2)两平行直线l₁:Ax+By+C₁=0， l₂:Ax+By+C₂=0之间的距离d=。

8．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断。

(1)斜率存在且不重合的两条直线l_1∶y=k₁x+b₁， l_2∶y=k₂x+b₂，有以下结论：

①l₁∥l₂k₁=k₂

②l₁⊥l₂k₁·k₂= -1

(2)对于直线l_1∶A₁x+B₁y+C₁=0， l_2∶A₂x+B₂y+C₂=0，当A₁，A₂，B₁，B₂都不为零时，有以下结论：

①l₁∥l₂=≠

②l₁⊥l₂A₁A₂+B₁B₂ = 0

③l₁与l₂相交≠

④l₁与l₂重合==

7．两条直线的夹角。当两直线的斜率k₁，k₂都存在且k_­1·k₂≠ -1时，tanθ=，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断。另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别。

6．平面上直线与二元一次方程是一一对应的。

5．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。

名称	方程	说明	适用条件
斜截式	y=kx+b	k--斜率 b--纵截距	倾斜角为90°的直线不能用此式
点斜式	y-y0=k(x-x0)	(x0，y0)--直线上 已知点，k--斜率	倾斜角为90°的直线不能用此式
两点式	=	(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点	与两坐标轴平行的直线不能用此式
截距式	+=1	a--直线的横截距 b--直线的纵截距	过(0，0)及与两坐标轴平行的直线不能用此式
一般式	Ax+By+C=0	，，分别为斜率、横截距和纵截距	A、B不能同时为零