14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使

[证明]　 令F(x)=f(x)-,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0，即

13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使

[证明]　 若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，.若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。

12．极值的第二充分条件：设f(x)在x₀的某领域(x₀-δ,x₀+δ)内一阶可导，在x=x₀处二阶可导，且。(1)若，则f(x)在x₀处取得极小值；(2)若，则f(x)在x₀处取得极大值。

11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x₀邻域(x₀-δ,x₀+δ)内可导，(1)若当x∈(x-δ,x₀)时，当x∈(x₀,x₀+δ)时，则f(x)在x₀处取得极小值；(2)若当x∈(x₀-δ，x₀)时，当x∈(x₀,x₀+δ)时，则f(x)在x₀处取得极大值。

10．极值的必要条件：若函数f(x)在x₀处可导，且在x₀处取得极值，则

9.导数与函数的性质：(1)若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；(2)若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递增；(3)若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递减。

8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x)，已知(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x))处可导，则复合函数y=f[(x)]在点x处可导，且(f[(x)]=.

7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则

(1)；(2)；(3)(c为常数)；(4)；(5)。

6．几个常用函数的导数：(1)=0(c为常数)；(2)(a为任意常数)；(3)(4);(5);(6);(7)；(8)

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x₀处取得一个增量Δx时(Δx充分小)，因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀)).若存在，则称f(x)在x₀处可导，此极限值称为f(x)在点x₀处的导数(或变化率)，记作(x₀)或或，即。由定义知f(x)在点x₀连续是f(x)在x₀可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x₀处导数(x₀)等于曲线y=f(x)在点P(x₀,f(x₀))处切线的斜率。