2． “NaCl+CO₂+NH₃+H₂O=NaHCO₃↓+NH₄Cl”是著名的“侯氏制碱法”的重要反应。下面是4位同学对该反应涉及的有关知识发表的部分见解。其中不正确的是(C)

A　　　　　　　　　　　　　 B　　　　　 C　　　　　　　　　　　　　 D

1．有甲、乙、丙、丁四种物质，在化学反应中的关系是：甲+乙→丙+丁(B)

A.若甲为盐酸，丁为水，则乙一定为碱

B.若甲为碳水化合物，乙为氧气，则该反应一定为氧化反应

C.若将10g甲和15g乙混合，充分反应后，则生成丙和丁的质量总和一定为25g

D.若甲、乙、丙、丁都是化合物，则该反应一定是复分解反应

(二)为偶数，则为偶数。则，。则，解得：与矛盾。　　　　 　　----(1分)

由此得：对于给定常数m()，这样的总存在；当是奇数时，；当是偶数时，。　　　　　　　 　　----(1分)

10.(2009南华一中12月月考)设各项均为正数的数列的前项和为，且满足：

(1) 求；　　

(2)求出数列的通项公式(写出推导过程)；

(3) 设，求数列的前项和。

解：(1)由得解得…………………1分

　　由 解得……………………………………2分

由解得 …………………………………3分

　　 (2)当时

当时， ……………4分

整理得：

化简得：　 ………………………………………………………6分

所以是公差为2，首项为1的等差数列，

即…………………………………………………7分

　 (3)………………9分

　 ………………………………………………12分

11.(2009枣庄一模)设数列

　 (1)求数列的通项公式；

　 (2)设，求数列

解：(1)

　　　 是首项为的等比数列　 2分

　　　 　 4分

　　　 当仍满足上式。

　　　 注：未考虑的情况，扣1分。

　 (2)由(1)得，当时，

　　　 　 8分

　　　 两式作差得

　　　 　 12分

12.(2009冠龙高级中学3月月考)由函数确定数列，，函数的反函数能确定数列，，若对于任意，都有，则称数列是数列的“自反数列”。

(1)若函数确定数列的自反数列为，求的通项公式；

(2)在(1)条件下，记为正数数列的调和平均数，若，为数列的前项和，为数列的调和平均数，求；

(3)已知正数数列的前项之和。求的表达式。

解：(1)由题意的：f ^–1(x)== f(x)=，所以p = –1，所以a_n=

　(2) a_n=，d_n==n，

S_n为数列{d_n}的前n项和，S_n=，又H_n为数列{S_n}的调和平均数，

H_n=== 　==

(3)因为正数数列{c_n}的前n项之和T_n=(c_n+)，

所以c₁=(c₁+)，解之得：c₁=1，T₁=1

当n≥2时，c_n = T_n–T_n–1，所以2T_n = T_n–T_n–1 +，

T_n +T_n–1 = ，即：= n，

所以，= n–1，= n–2，……，=2，累加得：

=2+3+4+……+ n， 　　　=1+2+3+4+……+ n =，T_n=

13.(2009番禺一模)设数列对一切正整数均有，且 ，如果，．

(1)求，的值；

(2)求数列的通项公式；

(3)设数列前项之积为，试比较与的大小，并证明你的结论．

(1)依题意：，则，

而，又，所以，　　　　　　　　　　　 ………………1分

同样可求得，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………2分

(2)猜测，)　　　　　　　　　　　　　　 ………………4分

①用数学归纳法证明：显然时猜想正确，　　　　　　 　　　　………………5分

②假设时猜想成立，即，

则时，∵，∴，即，而

故,　　　　　　　　　　　　　　 ………………6分

这就是说猜想也成立,故对任意正整数都有． ………………7分

(3)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………9分

证明: ，

则，　　　　　 ………10分

则　　　　　　　　　　　　　

　∴　　 ………11分

设,，则，

即为上的减函数，∴，故时，，　 ……12分

而，∴，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………13分

∴，，

则，即．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

14.(2009深圳一模理)已知函数，为函数的导函数．

(Ⅰ)若数列满足：，()，求数列的通项；

(Ⅱ)若数列满足：，()．

(ⅰ)当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；

(ⅱ)当时， 求证：．

解：(Ⅰ)，　　　　　　　　 …………………………1分

，

即　　　　　　　 …………………………3分

，　 数列是首项为，公比为的等比数列．

，即

．　　　　　　　　　 …………………………5分

(Ⅱ)(ⅰ)，

．

当时，．

假设，则．

由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为．…8分

(ⅱ)， ．

当时，．

假设，则 ．

由数学归纳法，得出数列．……………10分

又，

，

即．　　　　　　　　 …………………………12分

．

，

．　　　　　　　　　 …………………………14分

(一)为奇数，则为奇数。则，。则，解得：(是正奇数)。　　　　　 　----(1分)

(二)为偶数，则为奇数。则，。则，解得：(是正偶数)。　　　　 　　----(1分)

(B)为偶数

(一)为奇数，则为偶数。则，。则，解得：与矛盾。　　　　　　　　 　　----(1分)

1.(2009上海卢湾区4月模考)已知数列的前项和为，且对任意正整数，都满足：，其中为实数.

　 (1)求数列的通项公式；

　 (2)若为杨辉三角第行中所有数的和，即，为杨辉三角前行中所有数的和，亦即为数列的前项和，求的值.

解：(1) 由已知，，相减得，由得，又，得，故数列是一个以为首项，以为公比的等比数列.　　　　　 　　　　　　(4分)

　　 从而　 ；　　　　　　　　　 (6分)

(2)，　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

又，故，　　　　　　 (11分)

于是，

当，即时，，

当，即时，，

当，即时，不存在.　　　　　　　　　　 (14分)

2.(2009临沂一模)已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28,且a₃+2是a₂,a₄的等差中项。

(I)　　　　　　　　　 求数列{a_n}的通项公式;

(II)　　　　　　　　 若b_n=,s_n=b₁+b₂+┉+b_n,求s_n+n•>50成立的正整数 n的最小值。

解：(I)设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，

依题意，有2(a₃+2)=a₂+a₄,

代入a₂+a₃+a₄=28, 得a₃=8,

∴a₂+a₄=20┉┉┉┉┉┉┉┉2分

∴解之得或┉┉┉┉┉┉┉┉4分

又{a_n}单调递增，∴q=2,a₁=2,

∴a_n=2ⁿ ┉┉┉┉┉┉┉┉6分

(II), ┉┉┉┉┉┉┉┉7分

∴　　　　 ①

∴　 ②

∴①-②得＝┉10分

∴即

又当n≤4时,, ┉┉┉┉┉┉┉┉11分

当n≥5时,.

故使成立的正整数n的最小值为5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉12分

3.(2009杭州高中第六次月考)已知数列中，

　 (1)求的值；

　 (2)求证：

　 (3)求　　　　　　　　　　 的值．

(1) ------------------------4分

　 (2)由可得

　　 ------------------------6分

　　 所以------------------------8分

　　 将上述式子相加得

　　 　 (或者用数学归纳法证明)------------------------10分

　 (3)

4.(2009青岛一模)已知等比数列的前项和为

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论．

解：(Ⅰ)由得:时，

………………………2分

是等比数列，，得 ……4分

(Ⅱ)由和得……………………6分

……10分

………………………11分

当或时有，所以当时有

那么同理可得：当时有，所以当时有………………………13分

综上：当时有；当时有………………………14分

5.(2009日照一模)已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，满足关系式

(I)求数列的通项公式；

(Ⅱ)设数列的通项公式是，前项和为，求证：对于任意的正整数，总有

解：(I)由已知得

　　　　　　　 故

　　　　　　　 即

　　　　　　　 故数列为等比数列，且

　　 　　　　　又当时，

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　………………………………6分

　　　　　　　 而亦适合上式

　　　　　　　 　　　　　　　　　…………………………………8分

　　　　 (Ⅱ)

　　　　　　　 所以

　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　………………………………12分

6.(2009昆明市期末)数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=a，S_n+1=2S_n+n+1，n∈N*

　 (Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

　 (Ⅱ)当a=1时，若设数列{b_n}的前n项和T_n，n∈N*，证明T_n＜2。

(Ⅰ)由S_n+1=2S_n+n+1　　　　　　　　　　　　　　　　 ①得

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

　　　 ①-②得

　　　 故　 a_n+1=2a_n +1。(n≥2)··································(2分)

　　　 又　 a_n+1+1=2(a_n+1)，

　　　 所以

　　　 故数列{a_n+1}是从第2项其，以a₂+1为首项，公比为2的等比数列。

　　　 又　 S₂=2S₁+1+1，a₁=a，所以a₂=a+2。

　　　 故　 a_n=(a+3)·2^n-2-1(n≥2).

　　　 又a₁=a不满足a_n=(a+3)·2^n-2-1,

　　　 所以　　 ····································6分

　 (Ⅱ)由a₁=1，得a_n==2ⁿ-1，n∈N*，则

　　　 又 　　　　　　 ①

　　　 得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

　　　 ①-②得

　　　 故

　　　 所以 ································12分

7.(2009东莞一模)设等差数列前项和满足，且，S₂=6；函数，且

　 (1)求A；　

(2)求数列的通项公式；

　 (3)若

_解：(1)由　 而

　 解得A=1……………………………………2分

(2)令　

当n=1时，a₁=S₁=2,当n≥2时，a_n=S_n－S_n-1=n²+n

综合之：a_n=2n…………………………………………6分

由题意

∴数列{c_n+1}是为公比，以为首项的等比数列。

………………………9分

(3)当

………………………11分

当

………13分

综合之：

………14分

8.(2009泰安一模)已知数列{a}中，，点在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(I)　　　　　　　　 令，求证数列{b}是等比数列；

(II)　　　　　　　 球数列的通项

解：(I)

　　　 又

9.(2009上海奉贤区模拟考)已知点集，其中，，点列在L中，为L与y轴的交点，等差数列的公差为1，。

(1)求数列的通项公式；

(2)若＝_，令；试用解析式写出关于的函数。

(3)若＝_，给定常数m(),是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

(1)y＝· ＝(2x－b)+(b+1)＝2x+1　　　　　　　　 -----(1分)

与轴的交点为，所以；　　　　　 -----(1分)

所以，即，　　　　　　　　　　　　 -----(1分)

因为在上，所以，即　　 -----(1分)

(2)设 ()，

即 ()　　　 　　----(1分)

(A)当时，

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　----(1分)

==，而，所以　　　　　　 　----(1分)

(B)当时，　 ----(1分)

= =，　　　　　　　　　　 　　----(1分)

而，所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　----(1分)

因此()　　　　　　　　　　　　　 　　----(1分)

(3)假设，使得 ，

(A)为奇数

5.(2009金华一中2月月考)将正奇数排列如下表其中第行第个数表示，例如

，若，则　　　 ．

答案 60

4. (2009上海九校联考)已知数列的前项和为，若，则　　　 　　.

答案 128

3.(2009闵行三中模拟)已知是等比数列，，则= 　　　　　　　。

答案 ()