21．(本小题满分14分)

设是关于的方程的根. 试证明：

(1)；　

(2)；　

(3)．

证明：(1)设，

且函数的图象在上是连续的，

在上至少有一个零点，即方程在内至少有一个根.　

……………………………………………………………………… 3分

，，在上是增函数.

方程在内有唯一根，且根在内，即.………… 5分

(2)方法一：

且函数的图象在上是连续的，

在内至少有一个零点，即方程在内至少有一个根.　

又由(1)知函数在上单调递增，

方程在内有唯一根，.……………………… 8分

，．　　　　　 …………………………………… 9分

方法二：由(1)知，两式相减得：

　　 　　………………………………………………7分

若存在，使得，则，从而，矛盾.

所以.　　　　　　　　　 ………………………………………………………… 9分

(3)由题设得，

当时，.　　　　　　　　　

．　　　　　……………………………………12分

当时有

…

．

综上．　　　　　　 　 ……………………………………………　 14分

20．(本小题满分14分)

已知函数，其中为不大于零的常数.

　(1) 讨论的单调性；

(2) 求证： (,为自然对数的底数).

解：(1)．　　　………………………………1分

①当时，，

　　 在单调递增，在单调递减；　　 ………………………………3分

　 ②当，即时，对恒成立

　　 在上单调递减；　　 ……………………………………………… 5分

③当时，

或

　 上单调递增，

　　 在和上单调递减；　 …………………… 7分

综上所述，当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增，

在和上单调递减.

当时，在单调递增，在上单调递减.　　 …………8分

(2)由(1)知，当在上单调递减，

当时，由得 　　　……………………………10分

　　　　 ………………………………………………14分

19．(本小题满分14分)

如图，在直角梯形中，，点在线段的延长线上.曲线段上任一点到、两点的距离之和都相等．

(1)建立适当的直角坐标系，求曲线段的方程；

(2)试问：过点能否作一条直线与曲线段相交于两点

、，使得线段以C为中点？若能，则求直线

的方程；若不能，则说明理由．

解：(1)以直线为轴，线段的中点为原点，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则　 ……………… 1分

，

依题意，曲线段是以、为左、右焦点，长轴长为的椭圆的一部分．　 ………………………………………… 3分

故曲线段的方程为．　　　　 …………………………… 6分

(2)设这样的直线存在，由直线与曲线段只有一个交点，

知直线存在斜率，设直线的方程为即

将其代入得

　①　　 　　…………………… 9分

设，则由

知解得　　　 …………………12分

当时，方程①化为：，解得

即，适合条件．

故直线存在，其方程为即　　 ……………… 14分

18．(本小题满分14分)

如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，

，，是线段的中点.

(1)求证：∥平面；

(2)求二面角的大小；

(3)试问：在线段上是否存在一点，使得直线

与所成角为？

解:方法一：(1)记与的交点为,连接,

　∵、分别是、的中点，是矩形，

∴四边形是平行四边形，∴∥.

∵平面BDE，平面，

∴∥平面. 　　　　……………………………………………………………… 4分

(2)在平面中过作于，连结，

， ∴⊥平面，

∴⊥，又　 平面　 ，

∴是二面角的平面角. 　　　　　……………………………………… 6分

在中，∴

∴二面角的大小为.　　　　 ……………………………………………… 9分

(3)设(),作于Q，则∥，

∵，，，

∴⊥平面，

平面，∴.　

在中，，.

∵为等腰直角三角形，∴

又∵Δ为直角三角形，∴，

∴ 或(舍去)．

∴点是的中点. 　　　　　　　……………………………………………………… 14分

方法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系.设，连接，

则点、的坐标分别是(、,∴(,

又点、的坐标分别是()、(，∴=(

∴=且与不共线，∴∥.

又∵平面BDE，平面，∴∥平面. 　　………………… 4分

(2)，∴⊥平面.

∴为平面的法向量.

∵=(·=0，

∴·=(·，

　得,　 ∴为平面的法向量.

∴<,>，∴与的夹角是.

即所求二面角的大小是. 　　……………………………………………… 9分

(3)设 ，得，∴，

又∵和所成的角是. ，

解得或(舍去)，即点是的中点.　　 …………………………… 14分

17．(本小题满分12分)

某休闲会馆拟举行“五一”庆祝活动，每位来宾交元的入场费，可参加一次抽奖活动. 抽奖活动规则是：从一个装有分值分别为的六个相同小球的抽奖箱中，有放回的抽取两次，每次抽取一个球，规定：若抽得两球的分值之和为分，则获得价值为元的礼品；若抽得两球的分值之和为分或分，则获得价值为元的礼品；若抽得两球的分值之和低于分，则不获奖.

　 　　　(1)求每位会员获奖的概率；

(2)假设这次活动会馆既不赔钱也不赚钱，则应为多少元？

解：(1)两次抽取的球的分值构成的有序数对共有对，其中分值之和为的有对，分值之和为的有两对，分值之和为的有对，所以每位会员获奖的概率为

　　 ．　　　　　　 …………………………………………………………4分

(2)设每位来宾抽奖后，休闲宾馆的获利的元数为随机变量，

则的可能取值为、、．　　　　 ……………………………………………5分

　　　 …………………………………8分

则宾馆获利的期望为．

若这次活动会馆既不赔钱也不赚钱，则=0，即，

所以，.　　　 …………………………………………………………………………11分

答：(1)每位会员获奖的概率为；(2)应为元．　　　 …………………………12分

16.(本小题满分12分)

已知向量，其中＞0，且，又函数的图像两相邻对称轴之间的距离为.

(1)求的值；

(2) 求函数在区间上的最大值与最小值及相应的值．

解：(1) ，

．

……………………………………………… 4分

由题意，函数的最小正周期为，又＞0，． ……………6分

(2) 由(1)知，

，

当即时，取得最大值　　　 ……………………………… 9分

当即时，取得最小值　　　　 ………………………12分

9. ；　 10.　 ； 　11. 或；　 12. ；　 13. ；　 14. ； 15. ．

21．(本小题满分14分)

设是关于的方程的根. 试证明：

(1)；　

(2)；　

(3)．

广东省2010届高三上学期四校联考

　 数　学(理科)　　

答案及说明

说明：

20．(本小题满分14分)

已知函数，其中为不大于零的常数.

(1) 讨论的单调性；

(2) 证明： (,为自然对数的底数).