20．已知函数且对于任意实数，恒有

(1)求函数的解析式；

(2)已知函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

(3)函数有几个零点？

解：(1)，

依题意，对任意实数，恒有

即

即

所以，……………………(1分)

所以……………………(2分)

(2)

……………………(3分)

函数在(0，1)上单调递减，

在区间(0，1)恒成立……………………(4分)

在(0，1)上恒成立

而在(0，1)上单调递减

为所求。……………………(6分)

(3)=

令=0，解得

当时，当时，

当时，当时，

……………………(7分)

……………………(8分)

所以①当时，函数没有零点；……………………(9分)

②当时，函数有四个零点；……………………(10分)

③当或时，函数有两个零点；……………………(11分)

④当时，函数有三个零点；……………………(12分)

19．如图，在直三棱柱中，异面直线与成的角，点分别是棱和的中点，点是棱上的动点。

(1)证明：；

(2)求点到平面的距离；

(3)求二面角的大小。

解：(1)取中点M，连接，

则平面，则在平面内的摄影为，……………………(2分)

……………………(4分)

(2)由体积转换可求点到平面的距离为，……………………(7分)

而是的中点

所以点到平面的距离为……………………(8分)

(3)取的中点，连接，则，又平面

　 平面，作于，连接

所以

是所求二面角的平面角……………………(10分)

易得，又

所求二面角的平面角为……………………(12分)

另解：空间向量方法

(1)同上……………………(4分)

(2)如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则

……………………(5分)

设平面的法向量为

求得平面的法向量为……………………(6分)

又

所以，点到平面的距离……………………(8分)

(3)设平面的法向量为

可求得平面的法向量为……………………(9分)

同理可求得平面的法向量为……………………(10分)

所以，……………………(11分)

所以二面角的大小为……………………(12分)

18．为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司 组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。　 在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。　　

(I)在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

(II)在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。

　 解：(Ⅰ)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持

银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

　 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，

　 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。　　　　　　

　 ……………………(2分)

　 ……………………(4分)

　 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。

…………………………………………………………6分

(Ⅱ)的可能取值为0，1，2，3

　 ,　 ……………………(7分)　

　　　　 ……………………(8分)

，……………………(9分)

，　　 ……………………(10分)

所以的分布列为

	0	1	2	3

　　 所以，　 ……………………12分　

17．设为的三个内角，且

(1)求角的大小；

(2)求的取值范围。

解：(1)

　　　　　　　　　　 (2分)

依题意有，

(3分)

由正弦定理，……………..(4分)

……….(5分)

所以………(6分)

(2)

　　　　　　　　 =………(8分)

　　　　　　　　 =………(9分)

则………(10分)

则，即……(12分)

16．在棱长为2的正方体中,正方形所在平面内的动点到直线的距离之和为,则有最大值　　　　 ．

15．在极坐标系中，直线截圆所得的弦长是　 2　　　 ．

14.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是　 　　　　．　　　

13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 　　　4　　　 ．

12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了

10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直

方图(如右图)．为了分析居民的收入与年龄、学历、

职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽

样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000)

(元)月收入段应抽出　　 25　　　　　 人．

11.若实数满足不等式组则的最小值是　 5　　　 ．