24、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(MN平行CD)

(1)若通话时间为两小时，按方案A，B各付话费多少元？

(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？

(3)通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？

[解]设通话x分钟时，方案A，B的通话费分别为---------1分

(1)当x=120时　　=116元　　　　　 =168元-----------3分

若通话时间为两小时，方案A付话费116元，方案B付话费168元------4分

(2)----------7分

当-=0.3　　--------------------------------9分

方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3　元-------------------10分

(3) 当-------------------------------11分

　　 ----------------------12分

由得----------13分

综合：通话时间在内方案B较优惠。----------14分

23、(山东省聊城市2008届第一期末统考)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入一前n年的总支出一投资额).

　 (1)该厂从第几年开始盈利？

　 (2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？

解：由题意知

………………2分

(1)由…………5分

由知，从经三年开始盈利.…………………………6分

(2)方案①：年平均纯利润

当且仅当n=6时等号成立.

故方案①共获利6×16+48=144(万元)，此时n=6.………………8分

方案②：当n=10，

故方案②共获利128+16、144(万元)……………………10分

比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算.…………………………12分

22、(本小题满分12分)(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？

解：设矩形的长为xm，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积为Sm²．

由题知：S=dx，且2x+πd=400　　　　　　　　　 2′

∴S=　　　　　　　　　　　　　　 5′

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10′

当且仅当πd=2x=200，即x=100时等号成立

设计矩形的长为100m宽约为63.7m时，矩形面积最大．　　　　　　　 12′

21、(江苏省泰兴市2007-2008学年第一学期高三调研)设a、b、c均为实数，求证：++≥++.

证明：　 ∵a、b、c均为实数，

∴(+)≥≥，当a=b时等号成立；……………………4分

(+)≥≥，当b=c时等号成立；……………………6分

(+)≥≥．……………………8分

三个不等式相加即得++≥++，

当且仅当a=b=c时等号成立. ……………………10分

20、(江苏省泰兴市2007-2008学年第一学期高三调研)设函数求证：

　 (1)；

　 (2)函数在区间(0，2)内至少有一个零点；

　 (3)设是函数的两个零点，则

证明：(1)　

又　　 　　……………………2分

又2c=－3a－2b　 由3a＞2c＞2b　 ∴3a＞－3a－2b＞2b

∵a＞0　 ………………………………………………4分

(2)∵f(0)=c，f(2)=4a+2b+c=a－c………………………………6分

①当c＞0时，∵a＞0，∴f(0)=c＞0且

∴函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点……………………8分

②当c≤0时，∵a＞0　

∴函数f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点.

综合①②得f(x)在(0，2)内至少有一个零点…………………………10分

(3)∵x­­₁，x₂是函数f(x)的两个零点

则的两根

∴……………………………………12分

……………………………………15分

19、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知x，y，z均为正数．求证：

证明：因为x，y，z无为正数．所以， ………………………………4分

同理可得，………………………………………………………7分

当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．…………10分

18、(吉林省吉林市2008届上期末)已知函数设关于x的方程的两实根为x₁、x₂，方程的两实根为.

　 (1)若=1，求a、b的关系式；

　 (2)若

解：(1)由有两个不等实根为α、β，

　……………………………………2分

由

　………………………………6分

　 (2)证明：，

则 ……………………10分

综上所述， ……………………………………………………12分

17、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)某加工厂有一块三角形的铁板余料(如图)，经测量得知：AC=3，AB=3，BC=6.工人师傅计划用它加工成一个无盖直三棱柱型水箱，设计方案为：将图中的阴影部分切去，再把它沿虚线折起，请计算容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

解：设容器的高为x.

又GE＞0，∴0＜x＜

设容器的容积为V.

则V=…………………………………………………………(6分)

……………………………………………………(7分)

令，又0＜x＜………………………………(10分)

当0＜x＜时，.………………………………………(13分)

16、(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)随着机构改革的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(140<2a<420，且a为偶数)，每人每年可创利b万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的. 为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，

则……4分

依题意

又140<2a<420, 70<a<210. ……6分

(1)当时，x=a-70, y取到最大值；……8分

(2)当时，， y取到最大值；……10分

答：当时，裁员a-70人；当时，裁员人……12分

15、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W(吨)与时间t(小时，且规定早上6时t＝0)的函数关系为W＝100．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?

解：设进水量选第x级，则t小时后水塔中水的剩余量为：

y＝100+10xt－10t－100，且0≤t≤16．

根据题意0＜y≤300，∴0＜100+10xt－10t－100≤300．　

当t＝0时，结论成立．

当t＞0时，由左边得x＞1+10(), 令m=，由0＜t≤16，m ≥，

记f(t)=1+10()=1+10m²-10m³，(m ≥)

则f¢(t)=20m – 30 m ² =0得m = 0或m =．

∵当≤m ＜时，f¢(t)＞0；当m ＞时，f¢(t)＜0，

∴所以m =时(此时t =)，f(t)最大值=1+10()²-10()³=≈2.48．

当t＝时，1+10()有最大值2.48．　

∴x＞2.48，即x≥3．

由右边得x≤+1，当t＝16时，+1有最小值

+1=∈(3，4)．即x≤3．

综合上述，进水量应选为第3级．

[总结点评]本题考查数学建模的基本思想，怎么样把实际问题转化为数学问题，进而用已有的数学知识求这个数学问题的解。水塔中的水不空又不会使水溢出等到价于进出水量的平衡，进水量与选择的进水级别与进水时间相关，出水量有生活用水与工业用水两部分构成，故水塔中水的存量是一个关于进水级别与用水时间的函数，而容量为300吨的水塔就构成一个不等式，解之得问题的解.