(二)填空题：

7、(07重庆)设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则______；

8、(06重庆)在数列中，若,则该数列的通项_________。

(一)选择题：

1、(07重庆)若是与的等比中项，则的最大值为(　)

A、　　　　　　 B、　　　　　　　 C、　　　　　　　 D、

2、(07陕西)各项均为正数的等比数列 的前项和为为，若，，则等于(　　 )

A、80　　　　　　 B、30　　　　　　 C、26　　　　　　 D、16

3、(06湖北)若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则 ( 　)　　　　 A、4　　 　　　　B、2 　　　　　　C、－2　 　　　　D、－4

4、(06湖南)若数列满足: , 且对任意正整数都有, 则

(　　 )

　 A、　　　　　　　　 B、　　　　　　 C、　　　　　　　 D、

5、(06辽宁)在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于(　　 )　　 A、　　　 B、　　　 C、　　 D、

6、(05江苏)在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则(　　 )

A、33　　　　 B、72　　　　 C、84　　　　 D、189

例1、(06天津)已知数列满足，并且

(为非零参数，)。

(1)若成等比数列，求参数的值；(2)当时，证明；

(3)当时，证明。

解：(I)由已知，

且

若、、成等比数列，则，即。

　而， 解得。

(II)由已知及，可得

由不等式的性质，有

另一方面，

因此，故

(III)当时，由(II)可知

又由(II)则

从而因此

例2、(05全国Ⅱ18)已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列．又，…．(Ⅰ)证明为等比数列；(Ⅱ)如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项和公差。

例3、(04吉林)数列的前项和记为，已知＝(＝1，2，3，…)．证明：(Ⅰ)数列{}是等比数列；(Ⅱ)．

(三)解答题：

9、(07福建21)等差数列的前项和为．

(Ⅰ)求数列的通项与前项和；

(Ⅱ)设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列。

解：(Ⅰ)由已知得，，

　　　 故．

　　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)得．

　　　 假设数列中存在三项(互不相等)成等比数列，则．

　　　 即．

　　　 ，

　　　 　　　 ．

　　　 与矛盾．

　　　 所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．

(二)填空题：

8、(06浙江)设为等差数列的前项和，若，则公差为　　(用数字作答)。

(一)选择题：

1、(04全国)已知方程的四个根组成一个首项为等差数列，则等于(　 )

A、1　　　　 B、　　　　 C、　　　　　 D、

2、(04全国Ⅲ)设数列是等差数列， ，是数列的前n项和，则(　 )

A、S₄＜S₅　 　　　　　　　　　 B、S₄＝S₅ 　　　　　 C、S₆＜S₅　 　　　　　　　 D、S₆＝S₅

3、(05福建)

4、(06全国Ⅰ10)设是公差为正数的等差数列，若，，则(　 )

A、　　　 　　　B、　　　　 C、　　　 　　　D、

5、(06全国Ⅱ11)设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若＝，则＝(　 )

A、　　　　　 B、　　　　　　　　 C、　　　　　 D、

6、(06天津)已知数列　 都是公差为1的等差数列，其首项分别为　 ，且，．设()，则数列的前10项和等于(　)

A、55　　　 B、70　　　C、85　　　D、100

7、(06重庆)在等差数列中，若，是数列的前项和，则的值为(　 )

A、48　　　　 B、54　　　　　 C、60　　　　　 D、66

例1、(06广东)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　 )

A、5　　　　　 B、4　　　　　 C、3　　　　　　　 D、2

例2、(06上海春22)已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列().

(1)若，求；

(2)试写出关于的关系式，并求的取值范围；

(3)续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？

[解](1).　　　　　　　　　　　 …… 4分

　 (2)，　　　　　　　　　　　　 …… 8分

　　 ，

　当时，.　　　　　　　　　　 …… 12分

　 (3)所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.　　　 …… 14分

研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.…… 16分

研究的结论可以是：由，

依次类推可得　

当时，的取值范围为等.　　　　　　　　　　　　 …… 18分

例3、(04天津20)设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，，成等比数列。(1)证明；(2)求公差的值和数列的通项公式。

(三)解答题：

6、(07江苏20)已知是等差数列，是公比为的等比数列，，，记为数列的前项和．

(1)若(是大于的正整数)，求证：；

(2)若(是某个正整数)，求证：是整数，且数列中的每一项都是数列中的项；

(3)是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．

解：(1)设等差数列的公差为，则由题设得，，且．

由得，所以，

．

故等式成立．

(2)(ⅰ)证明为整数：

由得，即，

移项得．

因，，得，故为整数．

(ⅱ)证明数列中的每一项都是数列中的项：

设是数列中的任一项，只要讨论的情形．

令，即，

得．

因，当时，，为或，则为或；

而，否则，矛盾．

当时，为正整数，所以为正整数，从而．

故数列中的每一项都是数列中的项．

(3)取，，．

．

所以，，成等差数列。

(二)填空题：

4、(07江西)已知数列对于任意，有，若，则　　　　 ；

5、(07安徽)如图，抛物线与轴的正半轴交于点，将线段的等分点从左至右依次记为，过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为，从而得到个直角三角形．当时，这些三角形

(一)选择题：

1、(05全国Ⅱ11)如果，，…，为各项都大于零的等差数列，公差，则

A、　 B、　 C、++　 D、=

2、(04浙江)已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则=(　 )

　 A、–4　　　 B、–6　　　 C、–8　　 D、–10

3、(04湖南11)农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元), 预计该地区自2004年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于(　　 )

A、4200元~4400元　　　 B、4400元~4600元　 C、4600元~4800元 　　D、4800元~5000元