2. (07广东)已知函数的定义域为，的定义域为，则(　 )　 A.　　 B.　 C. D.

1. (2009广东)已知全集，集合

和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有(　 )

　A. 3个　　 B. 2个　　　　　 C. 1个　　 　　　　D. 无穷多个

(二)填空题：

8、(07山东)设是不等式组表示的平面区域，则中的点到直线距离的最大值是　　　　　 ；

9、(06全国Ⅰ)设，式中变量满足下列条件：则的最大值为_____________；

10、(07重庆)已知满足则函数的最大值是______；

11、(07陕西)已知实数满足条件则的最大值为　　　；

12、(07湖北)设变量满足约束条件则目标函数的最小值为　　　　　　　　　　　　　 ．

(一)选择题：

1、(06广东)在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是(　)

A、　 B、 　C、 　D、

2、(06山东)某公司招收男职员x名，女职员y名，须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是(　)

A、80　　　 B、 85　　　　 C、90　　　　　 D、95

3、(04广东)变量满足下列条件：，则使的值最小的是(　)　　A、 ( 4.5 ,3 )　　　　 B、( 3,6 )　　　　 C、 ( 9, 2 )　　　 D、( 6, 4 )

4、(07四川)某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为(　)

A、36万元　　　　　　　　　 B、31.2万元　　　　 C、30.4万元　　　　 D、24万元

5、(07天津)设变量满足约束条件则目标函数的最大值为(　)　　　　　　　　 A、4 　　　 B、11　　　　　 C、12　　　　　 D、14

6、(07辽宁)已知变量满足约束条件则的取值范围是(　　 )

A、　　　　　　 B、　　C、　　 D、

7、(07江苏)在平面直角坐标系中，已知平面区域

，则平面区域的面积为(　)

A、　　　　　 B、　　　　　　 C、　　　　　 D、

例1、(06湖南)已知　 则的最小值是_____________；

例2、(06重庆)已知变量满足约束条件，若目标函数(其中)仅在点(3,1)处取得最大值，则的取值范围为___________；

例3、(04江苏)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

(三)解答题：

7、(06全国Ⅰ)设数列的前项的和，

(Ⅰ)求首项与通项；(Ⅱ)设，，证明：。

解: (Ⅰ)由 S_n=a_n－×2ⁿ⁺¹+, n=1,2,3，… , ①　 得 a₁=S₁= a₁－×4+ 所以a₁=2.

再由①有 S_n－1=a_n－1－×2ⁿ+, n=2,3，4,…

将①和②相减得: a_n=S_n－S_n－1= (a_n－a_n－1)－×(2ⁿ⁺¹－2ⁿ),n=2,3, …

整理得: a_n+2ⁿ=4(a_n－1+2^n－1),n=2,3, … , 因而数列{ a_n+2ⁿ}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a_n+2ⁿ=4×4^n－1= 4ⁿ, n=1,2,3, …, 因而a_n=4ⁿ－2ⁿ, n=1,2,3, …,

(Ⅱ)将a_n=4ⁿ－2ⁿ代入①得 S_n= ×(4ⁿ－2ⁿ)－×2ⁿ⁺¹ + = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ⁺¹－2)

　 = ×(2ⁿ⁺¹－1)(2ⁿ－1)　　

　T_n= = × = ×( － )

所以, = － )　 = ×( － ) < 。

(二)填空题：

5、(07山东)函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为　　　　　 ；

6、(07上海)若，且，则的最大值是　　　 　　　　　　　。

(一)选择题：

1、(07海南)已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是(　)　 A、　　　　　 B、　　　　　　 C、　　　　　 D、

2、(07北京)如果正数满足，那么(　)

A、，且等号成立时的取值唯一

B、，且等号成立时的取值唯一

C、，且等号成立时的取值不唯一

D、，且等号成立时的取值不唯一

3、(06上海)若关于的不等式≤+4的解集是，则对任意实常数，总有(　 )

A、2∈，0∈； 　　　　　B、2，0；

C、2∈，0； 　　　　　D、2，0∈

4、(06重庆)若且,则的最小值为(　 )

A、　　　　 B、　　　 C、　　　 D、

例1、(07上海春)设是正实数，以下不等式

　　 ① ，② ，③ ，④

　　 恒成立的序号为

　　 (A) ①、③　　　 (B) ①、④　　　　 (C) ②、③　　　　 (D) ②、④　

例2、(05全国Ⅰ)当时，函数的最小值为(　　 )

(A)2　　　　　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　　　　　 (C)4　 　　　　　　　　　　 (D)

例3、(05全国Ⅲ)已知在中，，是上的点，则点到的距离乘积的最大值是　　

解：P到BC的距离为d₁,P到AC的距离为d₂,则三角形的面积得3d₁+4d₂=12,∴3d₁4d₂≤,∴d₁d₂的最大值为3,这时3d₁+4d₂=12, 3d₁=4d₂得d₁=2,d₂=。

例4、(04吉林22)已知函数。(1)求函数的最大值；(2)设，证明：。

(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),(x)=.令(x)=0，解得x=0，当-1<x<0时, (x)>0,当x>0时,(x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0

(II)证法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.

由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0)，由题设0<a<b,得,因此,.

所以a>-.

又 a<a

综上0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

(II)证法二：g(x)=xlnx,,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(),

则当0<x<a时因此F(x)在(0,a)内为减函数当x>a时因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g().

设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则当x>0时,,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

(三)解答题：

4、(06四川22)已知函数， 的导函数是。对任意两个不相等的正数，证明：

(Ⅰ)当时，；

(Ⅱ)当时，。

证明：(Ⅰ)由

　得

　　　　　　　 而　 ①

　　　　　　　 又

　　　　　　　 ∴　 ②

　　　 　　　∵　 ∴

∵　 ∴　 ③

由①、②、③得

即

(Ⅱ)证法一：由，得

∴

下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立

即证成立

∵

设，则

令得，列表如下：

		极小值

　　　 ∴

∴对任意两个不相等的正数，恒有

证法二：由，得

∴

∵是两个不相等的正数

∴

设，

则，列表：

		极小值

∴　 即

∴

即对任意两个不相等的正数，恒有