21．(本小题满分12分)

设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．

(1)求椭圆的离心率；

(2)若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．

解：(1)设点其中．

由分所成的比为8∶5，得，　　　　　　2分

∴．①，　　　　　　　4分

而，

∴．．②，　　　　　　5分

由①②知．

∴．　　　　　　　　　　6分

(2)满足条件的圆心为，

，　　　　　　　8分

圆半径．　　　　　　　　　10分

由圆与直线：相切得，，

又．

∴椭圆方程为．　　　　　　　　　　12分

2．石家庄模拟

20. (本小题满分13分)

　　 已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且。

　　 (I)求证数列是等比数列；

　　 (II)设数列的公比，数列满足：

，试问当m为何值时，

成立？

解：(I)由已知

　　 　　(2)

　　 由得：，即对任意都成立

　　 (II)当时，

　　 由题意知

　　 　　　　　　　 13分

19. (本小题满分14分)

　　 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2。

　　 (I)求此双曲线的渐近线的方程；

　　 (II)若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

(III)过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且。若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。

解：(I)

　　 ，渐近线方程为　　　　　 4分

　　 (II)设，AB的中点

　　 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆。(9分)

　　 (III)假设存在满足条件的直线

　　 设

　　 由(i)(ii)得

　　 ∴k不存在，即不存在满足条件的直线。　　　　　 14分

1．北京丰台区二模

22. (14分)△ABC中，|AB|=|AC|=1，，P₁为AB边上的一点，，从P₁向BC作垂线，垂足是Q₁；从Q₁向CA作垂线，垂足是R₁；从R₁向AB作垂线，垂足是P₂，再由P₂开始重复上述作法，依次得Q₂，R₂，P₃；Q₃，R₃，P₄……

　　 (1)令BP_n为x_n，寻求BP_n与(即)之间的关系。

　　 (2)点列是否一定趋向于某一个定点P₀？说明理由；

　　 (3)若，则是否存在正整数m，使点P₀与P_m之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值。

解：(1)由|AB|=|AC|=1，

　　 从而△ABC为边长为1的正三角形　 2分

　　 则，于是

　　 ∴　 3分

　　 同样　

　　 　4分

　　 又

　　 即　 5分

　　 (2)由(1)可得：

　　 ∴的等比数列

　　 ∴　 7分

　　 当

　　 ∴点P_n趋向点P₀，其中P₀在AB上，且BP₀　 9分

　　 (3)　 11分

　　 由

　　 当

　　 ∴的最小值为4　 14分

21. (12分)已知定点A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，动点P满足

　　 (1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。

(2)当

解：(1)设p(x，y)

　　 则

　　 由得

　　 　3分

　　 整理得(*)　 4分

　　 当k=1时，*式化为x=1表示直线　 5分

　　 当k≠1时，*式化为

　　 表示心为半径的圆　 6分

　　 (2)当k=2时，*式化为

　　 此时，

　　 ∴其最小值为2，最大值为6　 12分

3．德州模拟

21．(本小题满分12分)

已知函数

　 (Ⅰ)设处取到极值，其中

　 (Ⅱ)设求证：线段AB的中点C在曲线y=f(x)上；

　 (Ⅲ)若，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直.

解：(Ⅰ)以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，

作CD⊥AB于D， 由题知：　 ①

而　 ②

由①②　 ………………2分

同理，　 ∴A(－1，0)、B(1，0)……4分

设双曲线方程

由 …………6分

因为E、C两点在双曲线上，所以　 ………………8分

解得，∴双曲线方程为　 …………10分

(Ⅱ)设

∵

∴ ①

又M、N在双曲线上，满足 ②

将②代入①，

∵　 …………………………12分

又

∴取值范围为()　 ………………14分

20．(本小题满分12分)

数列，设S_n是数列的前n项和，并且满足

　 (Ⅰ)令是等比数列，并求{b_n}的通项公式；

　 (Ⅱ)令

解：(Ⅰ)

依题意知，s、t是二次方程的两个实根.

∵……2分

∴在区间(0，a)与(a，b)内分别有一个实根.

∵　 …………4分

(Ⅱ)由s、t是的两个实根，知

∴…6分

∵

故AB的中点C()在曲线y=f(x)上. ……8分

(Ⅲ)过曲线上点的切线方程为

∵，又切线过原点.

∴　

解得=0，或

当=0时，切线的斜率为ab；当时，切线的斜率为……10分

∵　 ∴两斜率之积

故两切线不垂直.　 ………………12分