平面向量数量积的运算律

1．交换律：a × b = b × a

证：设a，b夹角为q，则a × b = |a||b|cosq，b × a = |b||a|cosq

　∴a × b = b × a

7．判断下列各题正确与否：

1°若a = 0，则对任一向量b，有a×b = 0　　　　　　　　 ( √ )

2°若a ¹ 0，则对任一非零向量b，有a×b ¹ 0　　　　　　 ( × )

3°若a ¹ 0，a×b = 0，则b = 0　　　　　　　　　　　　 ( × )

4°若a×b = 0，则a 、b至少有一个为零　　　　　　　　 ( × )

5°若a ¹ 0，a×b = a×c，则b = c　　 　　　　　　　　　　( × )

6°若a×b = a×c，则b = c当且仅当a ¹ 0时成立　　　　　 ( × )

7°对任意向量a、b、c，有(a×b)×c ¹ a×(b×c)　　　　　　　 ( × )

8°对任意向量a，有a² = |a|²　　　　　　　　　　　　　 ( √ )

5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量

1°e×a = a×e =|a|cosq；2°a^b Û a×b = 0

3°当a与b同向时，a×b = |a||b|；当a与b反向时，a×b = -|a||b|

　特别的a×a = |a|²或

4°cosq = ；5°|a×b| ≤ |a||b|

4．向量的数量积的几何意义：

数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积

3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角

(0≤θ≤π)并规定0与任何向量的数量积为0

18.．解：(Ⅰ)，令或，

得，，所以，不等式的解集是．-------6分

　 (Ⅱ)在上递减，递增，所以，，

由于不等式的解集是非空的集合，所以，

解之，或，即实数的取值范围是．------10分

17.解：(Ⅰ)由得，

　　　　 ，两边同乘得，

　　　　 ，

　　　　 再由，

　　　　 得曲线C的直角坐标方程是…………5分

　 (Ⅱ)将直线参数方程代入圆C方程得，

，，

．-------10分

16. 证明：(Ⅰ)∵，

∴ ，

∵是的直径，

∴

∵

∴ ，

∴

15.证明:：(法一：综合法)∵，

∴

(法二：综合法)∵，

∴

设，

∴

∴原不等式成立。

(法三：比较法)先证

∵

∴

=

∴ 　　再证

∴　　 综上所述知

(法四：分析法)

要证

只要证

只需证

∵

=

∴

∴原不等式成立。