12．(15分)设数列{a_n}的前n项和为S_n，且(3－m)S_n+2ma_n＝m+3(n∈N^*)．其中m为常数，m≠－3，且m≠0.

(1)求证：{a_n}是等比数列；

(2)若数列{a_n}的公比满足q＝f(m)且b₁＝a₁，

b_n＝f(b_n－1)(n∈N^*，n≥2)，求证：{}为等差数列，并求b_n.

解：(1)由(3－m)S_n+2ma_n＝m+3，

得(3－m)S_n+1+2ma_n+1＝m+3.

两式相减，得(3+m)a_n+1＝2ma_n(m≠－3)．

∴＝(m≠－3)．

从而可以知道，数列{a_n}是等比数列．

(2)当n＝1时，(3－m)a₁+2ma₁＝m+3，a₁＝＝1，

∴b₁＝a₁＝1，又q＝f(m)＝，

∴b_n＝f(b_n－1)＝·(n∈N^*且n≥2)．

得b_nb_n－1+3b_n＝3b_n－1⇒－＝.

∴{}是以1为首项，为公差的等差数列．

∴＝1+＝，故b_n＝.

11．(15分)设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃＝4，a₄a₅a₆＝2¹².

(1)求首项a₁和公比q的值；

(2)若S_n＝2¹⁰－1，求n的值．

解：(1)设等比数列{a_n}的公比为q(q>0)，则由题设有a₄a₅a₆＝a＝2¹²⇒a₅＝2⁴＝16，

∴＝q²＝4⇒q＝2，代入a₃＝a₁q²＝4，解得a₁＝1.

(2)由S_n＝2¹⁰－1，得S_n＝＝2ⁿ－1＝2¹⁰－1，∴2ⁿ＝2¹⁰，∴n＝10.

10．(2010·浙江猜题卷)等比数列{a_n}的公比为q，其前n项的积为T_n，并且满足条件a₁>1，a₉₉a₁₀₀－1>0，<0.给出下列结论：①0<q<1；②a₉₉·a₁₀₁－1<0；③T₁₀₀的值是T_n中最大的；④使T_n>1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是__________．

解析：①中⇒⇒q＝∈(0,1)，∴①正确．

②中⇒a₉₉·a₁₀₁<1，∴②正确．

③中⇒T₁₀₀<T₉₉，∴③错误．

④中T₁₉₈＝a₁a₂…a₁₉₈＝(a₁·a₁₉₈)(a₂·a₁₉₇)…(a₉₉·a₁₀₀)＝(a₉₉·a₁₀₀)⁹⁹>1，

T₁₉₉＝a₁a₂…a₁₉₈·a₁₉₉＝(a₁a₁₉₉)…(a₉₉·a₁₀₁)·a₁₀₀＝a<1，∴④正确．

答案：①②④

9．设数列{a_n}为公比q>1的等比数列，若a₂₀₀₄和a₂₀₀₅是方程4x²－8x+3＝0的两根，则a₂₀₀₆+₂₀₀₇＝__________.

解析：解方程4x²－8x+3＝0，得x＝或.

又q>1，∴a₂₀₀₄＝，a₂₀₀₅＝.∴q＝＝3.

∴a₂₀₀₆+a₂₀₀₇＝(a₂₀₀₄+a₂₀₀₅)·q²＝2×3²＝18.

答案：18

8．(2009·浙江高考)设等比数列{a_n}的公比q＝，前n项和为S_n，则＝________.

解析：由S₄＝，a₄＝a₁·q³，

则＝＝15.

答案：15

7．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_1,2S_2,3S₃成等差数列，则{a_n}的公比为________．

解析：由题意知4S₂＝S₁+3S₃.

①当q＝1时，4×2a₁＝a₁+3×3a₁，

即8a₁＝10a₁，a₁＝0，不符合题意，所以q≠1.

②当q≠1时，应有

4×＝a₁+3×，

化简得3q²－q＝0，得q＝或0(舍去)．

答案：

6．已知等比数列{a_n}中a₂＝1，则其前3项的和S₃的取值范围是

(　)

A．(－∞，－1]　 　　　　　　　　　　　　　　 B．(－∞，0)∪(1，+∞)

C．[3，+∞)　 　　　　　　　　　　　　 D．(－∞，－1]∪[3，+∞)

解析：∵{a_n}是等比数列，a₂＝1，

S₃＝a₁+a₂+a₃＝a₁+a₃+1.

当q>0时，a₁、a₃>0，a₁+a₃≥2＝2＝2，∴S₃≥3.

当q<0时，a₁、a₃<0，a₁+a₃＝－[(－a₁)+(－a₃)]≤－2＝－2，∴S₃≤－1.

综上可知，S₃的取值范围为(－∞，－1]∪[3，+∞)．故选D.

答案：D

5．(2009·广东高考)已知等比数列{a_n}满足a_n>0，n＝1,2，…，且a₅·a_2n－5＝2²ⁿ(n≥3)，则当n≥1时，log₂a₁+log₂a₃+…+log₂a_2n－1＝

(　)

A．n(2n－1)　 　　　　　　　　　　　　　 B．(n+1)²

C．n²　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．(n－1)²

解析：由{a_n}为等比数列，则a₅·a_2n－5＝a₁·a_2n－1＝2²ⁿ，

则(a₁·a₃·a₅·…·a_2n－1)²＝(2²ⁿ)ⁿ⇒a₁·a₃·…·a_2n－1＝2n²，故log₂a₁+log₂a₃+…+log₂a_2n－1＝log₂(a₁·a₃·…·a_2n－1)＝n².

答案：C

4．(2009·辽宁高考)设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若＝3，则等于

(　)

A．2　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．3

解析：设其公比为q.

由已知可得＝＝＝1+q³＝3，

∴q³＝2.＝＝＝.

另解：可知S₃，S₆－S₃，S₉－S₆成等比数列，

则可设S₆＝3，S₃＝1，则(S₆－S₃)²＝S₃×(S₉－S₆)，解得S₉＝7，故＝.

答案：B

3．已知{a_n}是等比数列，a₂＝2，a₅＝，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1＝

(　)

A．16(1－4^－n)　 　　　　　　　　　　　　 B．16(1－2^－n)

C.(1－4^－n)　 　　　　　　　　　　　　　 D.(1－2^－n)

解析：∵q³＝＝，∴q＝，a₁＝4，数列{a_n·a_n+1}是以8为首项，为公比的等比数列，不难得出答案为C.

答案：C