347. 线段AB长为2a，两端点A、B分别在一个直二面角的两个面上，AB和两个面所成的角为45°和30°，那么A、B在棱上的射影间的距离为(　)．

　A．2a　 　　 B．a 　　　　　C．　 　 D．

解析：B．如图答9-39，设直二面角为a -l-b ，作AC⊥l于C，BD⊥l于D，则AC⊥b ，BD⊥a ，连结AD、BC，∴　∠ABC为AB与b 所成的角，∠BAD为AB与a 所成的角，∴　

∠ABC=30°，∠BAD=45°，∵　AB=2a，∴　AC=a，．在Rt△ACD中，，∴　CD=a．

图答9-39

346. SA、SB、SC是从S点出发的三条射线，若，，则

　二面角B-SA-C的大小为(　)．

　A．　 　 B．　 　　 C．　 　　D．

解析：C．在SA上任取一点E，作EF⊥SA交SC于F，作EG⊥SA交SB于G，连结FG，则∠GEF为二面角B-SA-C的平面角．

345. 如图9-45，二面角a -l-b 的平向角为120°，A∈l，B∈l，ACa ，BDb ，AC⊥l，BD⊥l．若AB=AC=BD=1，则CD长为(　)．

　A．　 　 B．　 　　C．2　　　 D．

解析：B．在平面b 内作AE∥BD，DE∥BA，得交点E．则∠CAE为二面角a -l-b 的平面角，故∠CAE=120°，于是．在Rt△CED中可求CD长．

344. 直线l、m与平面a 、b 满足l⊥平面a ，mb ，以上四个命题：

　①a ∥b l ⊥m；②a ⊥b l∥m；③l∥ma ⊥b ；④l⊥ma ∥b ．

　其中正确的两个命题是(　)．

　A．①与②　　B．③与④　　C．②与④　　D．①与③

解析：D．

343. 已知a -l-b 是直二面角，直线aa ，直线bb ，且a、b与l都不垂直，那么(　)．

　A．a与b可能平行，也可能垂直

　B．a与b可能平行，但不可能垂直

　C．a 与b不可能平行，但可能垂直

　D．a 与b不可能平行，也不可能垂直

解析：B．当，时，a∥b，即a、b可能平行，假设a⊥b，在a上取一点P，作PQ⊥l交l于Q，∵　二面角a -l-b 是直二面角，∴　PQ⊥b ，∴　PQ⊥b．∴　b垂直于a 内两条相交直线a和PQ，∴　b⊥a ，∴　b⊥l．这与已知b与l不垂直矛盾．∴　b与a不垂直

342. 已知异面直线a、b成角，过空间一点p，与a、b也都成角的直线，可以作(　)

　A．1条　　　B．2条　　　C．3条　　　D．4条

解析：C

341.　 在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB＝a,BA＝CA＝AA₁＝a,A₁在底面ΔABC上的射影O在AC上。

(1)求AB与侧面AC₁所成的角

(2)若O恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积

解析： (1)A₁O⊥面ABC，BC面ABC，∴BC⊥A₁O，又∵BC＝CA＝a，AB＝a,∴ΔABC是等腰直角三角形，∴BC⊥AC，∵BC⊥面AC₁，故∠BAC为BA与面AC₁所成的角，则有∠BAC＝　　　 45°，即AB与侧面成45°角。

(2)若O恰为AC中点，∵AA₁＝a,AC＝a,∴AO＝,A₁O＝a,＝a²，作OD⊥AB于D，连结A₁D，由三垂线定理得A₁D⊥AB，在RtΔAOD中，OD＝OAsin∠BAC＝·＝a²，在RtΔA₁OD中，A₁D＝＝,＝a··a＝a²，∴＝(2++)a²

340.　 如图，已知正三棱柱A₁B₁C₁-ABC的底面积等于cm²，D、E分别是侧棱B₁B，C₁C上的点，且有EC＝BC＝2DB，试求

(1)四棱锥A-BCDE的底面BCED的面积

(2)四棱锥A-BCED的体积

(3)截面ADE与底面ABC所成二面角的大小

(4)截面ADE的面积

解析： 利用三棱柱的性质及已知条件，(1)、(2)、(4)不难推算，至于(3)，可设平面ADE与平面ABC所成二面角为α，观察到ΔADE在底面ABC的射影是ΔABC(∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC)应用S_ΔABC＝S_ΔADE·cosα，可求出α.

解：设ΔABC边长为x，∵S_ΔABC＝x²＝.∴x＝2，于是EC＝BC＝2，DB＝BC＝1，∴S_BCED＝ (2+1)·2＝3，作AF⊥BC于F

∴AF⊥平面BCED，V_A-BCED＝·AF·S_BCED，∴V_A-BCED＝··2·3＝

在RtΔABD中，AD²＝AB²+DB²＝2²+1²＝5；在Rt梯形BCED中，DE²＝(CE-DB)²+BC²＝5

∴AD＝DE＝，∴ΔADE是等腰三角形，作DQ⊥AE于Q，则Q为AE的中点

在RtΔACE中，AE²＝EC²+AC²＝8，DQ²＝AD²-AQ²＝()²-()²＝3

∴AE＝，DQ＝，S_ΔADE＝·AE·DQ＝

设截面ADE与底面ABC所成二面角大小为α，D、E分别在底面的射影为B、C，∴ΔABC的面积＝ΔADE面积×cosα

即＝cosα,cosα＝,∴α＝45°

答　 (1)S_BCED＝3cm²,(2)V_A-BCED＝cm²,(3)截面ADE与底面ABC成45°的二面角，(4)S_ΔADE＝cm²

339.　 如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都为a，D为CC₁的中点.

(1)求证：A₁B⊥平面AB₁D.

(2)求平面A₁BD与平面ABC所成二面角的度数.

解析：这虽是一个棱柱，但所要论证的线面关系以及二面角的度数，都还是要利用直线和平面中的有关知识.

解　 (1)∵正三棱柱的各棱长都相等，

∴侧面ABB₁A₁是正方形.

∴A₁B⊥AB₁.连DE，

∵ΔBCD≌ΔA₁C₁D，

∴BD＝A₁D，而E为A₁B的中点，

A₁B⊥DE.∴A₁B⊥平面AB₁D.

(2)延长A₁D与AC的延长线交于S，连BS，则BS为平面A₁BD和平面ABC所成二面角的公共棱.

∵DC∥A₁A，且D为CC₁的中点，∴AC＝CS.

又AB＝BC＝CA＝CS，∴∠ABS＝90°.又AB是A₁B在底面上的射影，由三垂线定理得A₁B⊥BS.

∴∠A₁BA就是二面角A₁-BS-A的平面角.

∵∠A₁BA＝45°，

∴平面A₁BD和平面ABC所成的二面角为45°.

评注：本题(2)的关键是根据公理二求平面A₁BD和平面ABC的交线，在论证AB⊥BS时，用到了直角三角形斜边上的中线性质定理的逆定理.当然(2)还可以用S_射＝S·cosθ来解θ.

338.　 在棱长为a的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O、O₁分别为两底中心，P为OO₁的中点，过P、B₁、C₁作一平面与此三棱柱相截，求此截面面积.

解析： 如图，∵AA₁⊥面A₁B₁C₁，AA₁∥OO₁，设过P、B₁、C₁的截面与AA₁的延长线交于Q，连结A₁O₁延长交B₁C₁于D，连QD，则P必在QD上，∵O₁为ΔA₁B₁C₁的中心，P为OO₁的中点，故＝＝，∴Q在A₁A延长线上且QA＝PO₁，又QB₁交AB于E，QC₁交AC于F，则EF∥B₁C₁，所以截面为EFB₁C₁是等腰梯形，又QA₁∶QA＝3∶1，∴EF＝　 设QD与EF交于H，得QD⊥B₁C₁.因此HD为梯形EFC₁B₁的高.DQ＝＝a,∴HD＝a.＝(a+)·(a)＝a²为所求截面积.