2、值域：

1、定义域；

3．反正弦函数

习惯上，表示自变量，表示因变量，将反正弦函数记作：

，，

2．反正弦函数的值

　　 我们来看具体的例子：

(1)反正弦函数值表示范围内的一个角，并且，这个角就是，即=。

(2)反正弦函数值表示范围内的一个角，并且，要想知道这个角可以通过查表或计算器得到结果。而且可以解决前面上课时提出的问题：已知，如何表示？现在我们知道了，可以表示为。

(3)式子表示什么？等于多少呢？我说它等于1，对吗？

因为中，所以无意义！

对于反正弦函数值有如下需要我们注意的：

1)　　　 当时，有意义；

2)　　　 表示的角值；

3)　　　 。

1．引进符号

由于反正弦函数并不是正弦函数的反函数，而是函数，的反函数。用一个记号来表示，引进记号：。

选择表示反正弦函数是有道理的。中sin是正弦，arc是什么意思呢？arc并不是“反”的意思，它是英文单词，解释为“圆弧”，圆弧即圆周上的一段，那么圆弧与圆心角有什么关系呢？，在单位圆中，即，所以此时弧即角，角即弧。我们可以将arc理解作角，所以从字面上理解就是正弦值为所对应的角，因此用记反正弦函数是有道理的。 表示正弦值为所对应的角，等号是“是”的意思，所以， 即：正弦值为所对应的角是，是正弦值为所对应的角。因为反正弦函数是函数，的反函数。所以，自变量的取值范围就是原来函数的值域，因变量的取值范围就是原来函数的定义域，因为是，故而，且。

　　 我们学习过反函数，知道反函数的概念，也明确不是任何一个函数都存在反函数。函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。

　　 那么正弦函数是否存在反函数呢？

(学生作答：答案是否定的。学生说出理由：因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应。正弦函数的自变量与因变量是多对一的。故而不存在反函数。)

　　 正弦函数不存在反函数，那么怎样利用正弦函数，由正弦值确定相应的角值呢？

　　 通过一个例子来说明问题。

关于的式子，可以表示的角有无数多个，为，那么这个结果从何而来？

首先你能写出的满足条件的是哪个？

，因为，由 ，还可以写出哪些满足条件的，是，为什么？(因为根据三角比的定义具有相同终边的角其对应的三角比值相等)

还有其他满足条件的吗？

(有！，因为根据诱导公式，所以。)

通过这个例子，我们说用正弦值表示相应角值时，只要能表示出一个相应的角值就可以了。根据三角比的定义和诱导公式可以用它将其余的角值表示出。

　　 所以正弦函数不存在反函数。但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数。因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了。

　　 那么选取怎样的区间，使得存在反函数呢？

依据两个原则：

(1)所取区间在该区间上存在反函数；

(2)能取到的一切函数值。

依据这两个原则选择怎样的区间呢？

学生回答、讨论，不断补充完善。

(先选择，因为它包含了所有的正锐角和零角，但不符合原则(2)，补上，因为取到的一切函数值，并且与是连接在一起的，且关于原点对称，应用方便)

所以，选取闭区间，使得在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数。

　　 我们今天学习反正弦函数。

　　 三角学起源于测量，天文测量、航海测量都是利用三角形之间的边角关系来测量的。即利用比值与角之间的关系测量得到距离、高度和角度。而在测量的实际计算过程中我们经常会遇到两类相反的问题。一类是已知角值求比值，这是我们学习过的，例如，正弦函数它就是一个角值函数，任意角都有唯一确定的正弦值与之对应，即已知某一个角值都可以通过正弦函数，将其正弦值表示出。例如：，其正弦值可以表示为；，其正弦值表示为。

　　 而另一类相反的问题是已知比值求角值，例如：已知角的正弦值为，那么角如何表示呢？

(可以表示为；)

如果已知角的正弦值是，那么角又如何表示呢？

这就产生了怎样用正弦值表示相应角的问题？

　　 我们说正弦函数研究的是角值如何确定正弦值，角值是自变量，正弦值是因变量，而现今要解决的是正弦值如何确定相应的角值？所以，我们要反过来，由正弦函数的因变量去确定自变量。即需要我们考虑正弦函数的反函数。

15.(人教A版必修2第144页练习第3题)

某圆拱桥的水面跨度20，拱高4.现有一船宽10，水面以上高3，这条船能否从桥下通过？

变式1：某圆拱桥的水面跨度是20，拱高为4.现有一船宽9，在水面以上部分高3，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低

　　　　 时，船才能通过桥洞.(结果精确到0.01)

解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为.

∵圆经过点(10，0)，(0，4)，∴，解得.

∴圆的方程是.　 令，得.

故当水位暴涨1.5后，船身至少应降低，船才能通过桥洞.

变式2：据气象台预报：在城正东方300的海面处有一台风中心，正以每小时40的速度向西北方向移动，在距台风中心250以内的地区将受其影响.从现在起经过约

　　　 ，台风将影响城，持续时间约为　　　 .(结果精确到0.1)

解：以为原点，正东方向所在直线为轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是，受台风影响的区域边界的曲线方程是.

依题意有，解得.

∴.

∴从现在起经过约2.0，台风将影响城，持续时间约为6.6.

变式3：有一种商品，、两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费地是地的3倍.已知、两地的距离是10，顾客购买这种商品选择地或地的标准是：包括运费在内的总费用比较便宜.求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.

解：以的中点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则，.设是售货区域分界线上的任意一点，单位距离的运费为元，则，∴，化简得.∴、两地售货区域的分界线是以为圆心，为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去地购货，在曲线外的居民选择去地购货，在曲线上的居民去、两地购货均可.

14.(人教A版必修2第133页例5)

已知线段的端点的坐标是(4，3)，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.

变式1：已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，则点的轨迹方程是(　 )

A.　　　　　　　　　　　 B.

C.　　　　　　　　 　　D.

解：设.∵，∴，

∴，∴.∵点在圆上运动，∴，∴，即，∴点的轨迹方程是，故选(C).

变式2：已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是　　　　　 .

解：设.∵是的平分线，∴， ∴.由变式1可得点的轨迹方程是.

变式3：已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.

解：设，的中点为.∵是平行四边形，∴是的中点，∴点的坐标为，且.∵直线经过定点，∴，∴，化简得.∴点的轨迹方程是.

13.(人教A版必修2第135页B组第3题)

已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.

变式1：(2006年四川卷)已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于(　 )

A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　 D.

解：设点的坐标是.由，得，化简得，∴点的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为，故选(B).

变式2：(2004年全国卷)由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=60⁰，则动点的轨迹方程是　　　　　 .

解：设.∵=60⁰，∴=30⁰.∵，∴，∴，化简得，∴动点的轨迹方程是.

变式3：(2003年北京春季卷)设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.

解：设动点的坐标为.由，得，

化简得.

当时，化简得，整理得；

当时，化简得.

所以当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；

当时，点的轨迹是轴.