4．注意代换后参数的等价性

例8已知y＝2sinθcosθ+sinθ－cosθ(0≤θ≤π)，求y的最大值、最小值

解：设t＝sinθ－cosθ＝sin(θ－)

∴2sinθcosθ＝1－t²

∴y＝－t²+t+1＝－(t－)²+

又∵t＝sin(θ－)，0≤θ≤π

∴－≤θ－≤

∴－1≤t≤

当t＝时，y_max＝

当t＝-1时，y_min＝－1

说明：此题在代换中，据θ范围，确定了参数t∈［－1，］，从而正确求解，若忽视这一点，会发生t＝时有最大值而无最小值的结论

3．注意题中字母(参数)的讨论

例7求函数y＝sin²x+acosx+a－(0≤x≤)的最大值

解：∵y＝1－cos²x+acosx+a－＝－(cosx－)²++a－

∴当0≤a≤2时，cosx＝，y_max＝+a－

当a＞2时，cosx＝1，y_max＝a－

当a＜0时，cosx＝0，y_max＝a－

说明：解此题注意到参数a的变化情形，并就其变化讨论求解，否则认为cosx＝时，y有最大值会产生误解

2．注意条件中角的范围

例6已知｜x｜≤，求函数y＝cos²x+sinx的最小值

解：y＝－sin²x+sinx+1＝－(sinx－)²+

∵－≤x≤

∴－≤sinx≤

∴当sinx＝－时

y_min＝－(－－)²+＝

说明：解此题注意了条件｜x｜≤，使本题正确求解，否则认为sinx＝－1时y有最小值，产生误解

三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：

1．注意sinx、cosx自身的范围

例5求函数y＝cos²x－3sinx的最大值

解：y＝cos²x－3sinx＝－sin²x－3sinx+1＝－(sinx+)²+

∵－1≤sinx≤1，

∴当sinx＝－1时，y_max＝3

说明：解此题易忽视sinx∈［－1，1］这一范围，认为sinx＝－时，y有最大值，造成误解

利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解

例4求f(x)＝sin⁴x+2sin³xcosx+sin²xcos²x+2sinxcos³x+cos⁴x的最大值和最小值

解：f(x)＝(sin²x+cos²x)²－2sin²xcos²x+2sinxcosx(sin²x+cos²x)+sin²xcos²x=1+2sinxcosx－sin²xcos²x

令t＝sin2x

∴－≤t≤　　　　　　　　　　　 ①

f(t)＝1+2t－t²＝－(t－1)²+2　　 ②

在①的范围内求②的最值

当t＝，即x＝kπ+(k∈Z)时，f(x)_max＝

当t＝－，即x＝kπ+(k∈Z)时，f(x)_min＝－

如果f(x)在［α，β］上是增函数，则f(x)在［α，β］上有最大值f(β)，最小值f(α)；如果f(x)在［α，β］上是减函数，则f(x)在［α，β］上有最大值f(α)，最小值f(β)

例3 在0≤x≤条件下，求y＝cos²x－sinxcosx－3sin²x的最大值和最小值

解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有

y＝－2sin2x－3·＝2(cos2x－sin2x)－1

＝2 (cos2xcos－sin2xsin)－1

＝2cos(2x+)－1

∵0≤x≤，≤2x+≤

cos(2x+)在［0，)上是减函数

故当x＝0时有最大值

当x＝时有最小值－1

cos(2x+)在［，］上是增函数

故当x＝时，有最小值－1

当x＝时，有最大值－

综上所述，当x＝0时，y_max＝1

当x＝时，y_min＝－2－1

利用三角函数的有界性如｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1来求三角函数的最值

例2　 a、b是不相等的正数

求y＝的最大值和最小值

解：y是正值，故使y²达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小)

y²＝acos²x+bsin²x+2·+asin²x+bcos²x

＝a+b+

∵a≠b，(a－b)²＞0，0≤sin²2x≤1

∴当sin2x＝±1时，即x＝(k∈Z)时，y有最大值；

当sinx＝0时，即x＝ (k∈Z)时，y有最小值+

例1 求函数y＝sinπ的单调增区间

误解：令u＝π

∵y＝sinu在［2kπ－，2kπ+］(k∈Z)上递增

∴2kπ－≤π≤2kπ+

解得－4k≤x≤－4k+2

∴原函数的单调递增区间为［－4k，－4k+2］(k∈Z)

分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令u＝π，忽视了u是x的减函数，未考虑复合后单调性的变化

正解如下：

解法一：令u＝π，则u是x的减函数

又∵y＝sinu在［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)上为减函数，

∴原函数在［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)上递增

设2kπ+≤π≤2kπ+

解得－4k－2≤x≤－4k(k∈Z)

∴原函数在［－4k－2，－4k］(k∈Z)上单调递增

解法二：将原函数变形为y＝－sinπ

因此只需求sinπ＝y的减区间即可

∵u＝π为增函数

∴只需求sinu的递减区间

∴2kπ+≤π≤2kπ+

解之得：4k+2≤x≤4k+4(k∈Z)

∴原函数的单调递增区间为［4k+2，4k+4］(k∈Z)

7．单调性

正弦函数在每一个闭区间［－+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［+2kπ，+2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k+1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

6．奇偶性

y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数

正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称