4.(2008海南理11)已知点P在抛物线y² = 4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与

点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为　　　　　　　　 　 ( 　　)

A.(，－1) 　 　　 B.(，1)　　 　 C.(1，2)　　 　D.(1，－2)

答案 　A

3.(2008全国Ⅱ理9)设，则双曲线的离心率的取值范围是 (　 　)

A．　　 　　 B．　　 　 C．　　　 　　 D．

答案 　B

2.(2008江西理7)已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ( 　　)

A．　　　 　　　B．　 　　　　C．　 　　　　D．

答案 　C

1.(2008湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞　

向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆

轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在变点第二次变轨进入仍以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①;　　 ②;　　 ③;　　　 ④＜.

其中正确式子的序号是 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　( 　　)

A. ①③　　　　B. ②③　　　 　C. ①④　　 　 　D. ②④

答案 　B

72.(2009重庆卷文)(本小题满分12分)

已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．

(Ⅰ)求该双曲线的方程；

(Ⅱ)如题(20)图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标； 　　　　　

解 (Ⅰ)由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由得　 解得　 从而，该双曲线的方程为.

(Ⅱ)设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，

所以　 ，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故　

从而

当在线段CD上时取等号，此时的最小值为

直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故

由方程组　 解得　

所以点的坐标为.　 　　　　

2005-2008年高考题

71.(2009重庆卷理)(本小题满分12分)

已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．

(Ⅰ)若的坐标分别是，求的最大值；

(Ⅱ)如题图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；

解　 (Ⅰ)由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为(a ＞b＞ 0 ).

　设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 .

　又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以,

　从而，当且仅当，

即点M的坐标为时上式取等号，的最大值为4　. 　　　

(II)如图(20)图，设

.因为，故

　　　　　 ①

　因为

所以 .　　 ②

记P点的坐标为，因为P是BQ的中点

所以

由因为 ，结合①，②得

故动点P的估计方程为

70.(2009上海卷文)(本题满分16分)

已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。

(1)　　　 求双曲线C的方程； 　　

(2)　　　 若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；

(3)　　　 证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.

(1)解　 设双曲线的方程为

　 ，解得_，双曲线的方程为

(2)解　 直线，直线

由题意，得，解得

(3)证明　 方法一 设过原点且平行于的直线

则直线与的距离当时， 　　　

又双曲线的渐近线为 　　　　　　　

　 双曲线的右支在直线的右下方，

　 双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。

故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为

(3)方法二 　假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，

则

由(1)得

设，

当时，；

将代入(2)得

，　 　　　　　

方程不存在正根，即假设不成立，

故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为 　　　

69.(2009年上海卷理)(本题满分16分)　　

　已知双曲线设过点的直线l的方向向量　 　

(1)　　　 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；

(2)　　　 证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。

(1)解　 双曲线C的渐近线

　　　　 直线l的方程

　　　　 直线l与m的距离

(2)证明　 方法一设过原点且平行与l的直线

则直线l与b的距离

当 　　　　　　　

又双曲线C的渐近线为　

双曲线C的右支在直线b的右下方，

双曲线右支上的任意点到直线的距离为。

故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。

(2)方法二　 双曲线的右支上存在点到直线的距离为，

则

由(1)得，　

设　 　　　

当，0

将　 代入(2)得　　　 (*)

方程(*)不存在正根，即假设不成立 　　　　　　

故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为

68.(2009福建卷文)(本小题满分14分)

已知直线经过椭圆 　　　的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线

分别交于两点。

(I)求椭圆的方程；

(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值；

(Ⅲ)当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由

解　 方法一(I)由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为

　 故椭圆的方程为

(Ⅱ)直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，

从而

由得0

设则得，从而 　　　

即又

由得

故

又 　　

当且仅当，即时等号成立 　　

时，线段的长度取最小值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，当取最小值时，

　 此时的方程为

　 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。

设直线

则由解得或 　　

67.(2009湖南卷理)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(3，0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于

点P的横坐标与18之和 　　　　　　　　

(Ⅰ)求点P的轨迹C；

(Ⅱ)设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段

MN长度的最大值。

　解(Ⅰ)设点P的坐标为(x，y)，则3︳x-2︳

由题设

当x>2时，由①得 化简得　 　　　

当时　 由①得化简得　　　　　　 　　　　　　

故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与

抛物线在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)

所组成的曲线，参见图1

(Ⅱ)如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是

A(2，)，B(2，)，

直线AF，BF的斜率分别为=，=.

当点P在上时，由②知

.　　　　　　　　 ④ 　　

当点P在上时，由③知 　　　　　

　　　　　　　　　 ⑤

若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为

(i)当k≤，或k≥，即k≤-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M(，)，N(，)都在C 上，此时由④知

∣MF∣= 6 - 　　∣NF∣= 6 - 　　　　　　

从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 - )+ (6 - )=12 - ( +)

由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*∣MN∣=12 - (+)=12 -

因为当

当且仅当时，等号成立。

(2)当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则④⑤知，

　 设直线AF与椭圆的另一交点为E

　 所以。而点A，E都在上，且

　有(1)知 　　　　　　

若直线的斜率不存在，则==3，此时

综上所述，线段MN长度的最大值为_.