4．我们处理问题时必须清楚是哪一个力的功率，如一个机械的功率为P，这里指的是牵引力的功率，不可认为是机械所受合外力的功率．

3．P＝Fv应用时，F、v必须同向，否则应分解F或v，使二者同向．这里的P=Fv实际上是Fvcosθ、θ为F、v夹角．

2．P＝Fv当v为平均值时为平均功率，当v为即时值时为即时功率．

1．P＝W／t 所求的是这段时间内平均功率．

4、做功求解的典型情况

①注意力、冲量、功的区别

　　 除了它们的物理定义、单位以及是标量还是矢量以外，从动力学观点来看：(1)力和物体的运动状态的变化存在着瞬时因果关系，即力是产生加速度的原因，有力才有加速度，力变加速度变，它们之间的因果规律用牛顿第二定律来表达．(2)力的冲量反映的是力持续在一段时间的作用效果的累积量．其结果是要引起物体动量的改变，它们之间的因果规律用动量定理来表达．(3)功是力持续作用在一段空间位移上的作用效果的累积量，是标量．其结果是要引起物体动能的改变，它们之间的因果规律用动能定理来表达．

[例4]如图所示，质量相等的两物体沿相同高度不同倾角的两光滑斜面由静止滑下，到达底端的过程中，两情况(　　　 )

　　 A．重力冲量相等

　　 B．重力做功相等

　　 C．物体受合外力冲量相等

　　 D．物体受合外力做功相等

　　 解析： A．重力冲量大小不相等，由于所用时间不同，因而不相等；B．重力做功相等，重力做功特点是只与始末位置而跟路径无关；C．物体所受合外力冲量大小相等，都为m，由于∠θ≠∠α，所以方向不同；D．物体所受合外力做功相等，都为mgh．答案：BD

②作用力和反作用力的做功

作用力与反作用力同时存在，作用力做功时，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功，也可能做负功，不要以为作用力与反作用力大小相等、方向相反，就一定有作用力、反作用力的功数值相等，一正一负．所以作用力与反作用力做功不一定相等，但冲量的大小相等．

[例5]以下说法正确的是(　　　 )

　A．摩擦力可以对物体做正功　　 B．摩擦力可以使物体的速度发生变化，但对物体不做功

　C．作用力与反作用力做功一定相等　　 D．一对平衡力做功之和为零

解析：A．摩擦力可以对物体做正功，只要摩擦力的方向与物体运动方向相同，摩擦力就做正功．摩擦力可以改变物体的速度，对物体有一个冲量作用，但物体在力的方向上没有位移，因而不做功，如随圆板一起转动的物体．由此可以认识到：力对物体有冲量，但不一定对物体做功，相反只要力对物体做功，一定会有冲量．又可进一步认识：力使物体动量发生变化，其动能不一定变化；但力使物体动能发生变化时，其动量一定发生变化．c．作用力与反作用力做功不一定相等，如一炸弹炸成质量为m与 2 m的两块，根据动量守恒mv₁=2mv₂， 则v₁=2v₂，作用力和反作用力做功为W₁=½m(2v₂)²与W₂=½mv₂²，所以不相等。可认识到：作用力和反作用力产生的冲量总是大小相等，但做功可能不相等．D．一对平衡力合力为零，所以二力合力做功为零．答案：ABD

③摩擦力的做功

　A、静摩擦力做功的特点

(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

(2)在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移(静摩擦力起着传递机械能的作用)，而没有机械能转化为其他形式的能．

(3)相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的代数和总为零。

　B．滑动摩擦力做功的特点

如图所示，上面不光滑的长木板，放在光滑的水平地面上，一小木块以速度V₀从木板的左端滑上木板，当木块和木板相对静止时，木板相对地面滑动了S，小木块相对木板滑动了d，则由动能定理知：

滑动摩擦力对木块所做功为：　 W_木块=一f(d+S)……①

滑动摩擦力对木板所做功为：　 W_木板=fs……②

所以，木块动能增量为：　 ΔE_K木块=一f(d+s)……③

木板动能增量为：　 ΔE_K木板=fs………④

由③④得：ΔE_K木块+ΔE_K木板=一fd………⑤

⑤式表明木块和木板组成的系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与木块相对木板的位移的乘积。这部分减少的能量转化为内能。

故滑动摩擦力做功有以下特点：

1)滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功。

2)一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方面：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能。转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。

3)滑动摩擦力、空气摩擦阻力等，在曲线运动或往返运动时等于力和路程(不是位移)的乘积

[例6]如图所示，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v₀在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为W₁和W₂，在这一周内摩擦力做的总功为W₃，则下列关系式正确的是(　　 )

　 A．W₁＞W₂ 　B．W₁＝W₂　 C． W₃＝ 0　 D． W3＝W₁+W₂

解析：求某一力对物体所做的功值有多种思路，对于恒力(大小、方向均不变的力)做功的情况，通常由w＝Fscosα求解．对于变力(特别是方向发生变化的力)做功的情况，一般由功能转换关系求解．对于后一种思路，一定要正确判断哪些力做功，在外力做功的过程中，物体(或系统)的能量如何发生变化，变化了多少．

　 小球在水平弯管内运动，滑动摩擦力始终与速度方向相反，做负功，而小球在水平面内的圆周运动的向心力是由外管壁对小球的弹力N提供的，由于转动半径R始终不变，摩擦力对小球做负功，小球运动的速率逐渐减小，向心力减小即N减小，而f＝μN，滑动摩擦力f也减小，即由下列关系：

　　 N=Fn=mv²/R　　 m，R不变，v减小，则N减小，

　　 f＝μN　 N减小，则f减小

　　 W=－fπR　　 f减小，则W减小

　　 所以W₁＞W₂

　　 W₁．W₂都为负功，因此W₃＝W₁+W₂．答案：AD

[例7]如图所示，PQ是固定在水平桌面上的固定挡板，质量为m的小木块N从靠近P以一定的初速度向Q运动，已知物块与桌面间的动摩擦因数为μ，P与Q相距为s，物块与Q板碰撞n次后，最后静止于 PQ的中点，则整个过程摩擦力所做的功为多少？(n为自然数)

　　 解析：物块与Q板碰撞n次后，最后停在PQ中点，会有两种可能，一种可能是与Q板碰后向P板运动至中点而停止，设与Q板碰撞n次，则物体运动的路程为(2n一)s，摩擦力所做的功为W_f1=μmg(2n一)s

　　 第二种可能是物块与Q板碰后再与P板碰撞向Q板运动至中点而停止，在这种情况下，物体运动的路程为(2n+)s ，摩擦力所做的功为 W_f2= μmg(2n+)s，两种情况下，摩擦力对物体均做负功。

　　 扩展与研究：两类不同的力，一类是与势能相关的力，如重力、弹簧的弹力、电场力等，它们的功与路程无关系，只与位移有关。另一类是滑动摩擦力，空气阻力等，这类力做功与物体的运动路径有关。在上例中，滑动摩擦力是一个变力，方向在变化，可转化为恒力做功，同时滑动摩擦力做功要看物体运动的路程，这是摩擦力做功的特点，必须牢记。

点评：求功的思路共有四条:(1)由功的定义．恒力做功；(2)由能量关系求解；(3)由功率的定义；(4)由动能定理求解．

试题展示

功率

3、变力做功问题

①W＝F·scosα是用来计算恒力的功，若是变力，求变力的功只有通过将变力转化为恒力，再用W＝Fscosα计算．

②有两类不同的力：一类是与势能相关联的力，比如重力、弹簧的弹力以及电场力等，它们的功与路径无关，只与位移有关或者说只与始末点的位置有关；另一类是滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线运动或往返运动时，这类力(大小不变)的功等于力和路程(不是位移)的积．

③根据功和能关系求变力的功．如根据势能的变化求对应的力做的功，根据动能定理求变力做的功，等等．

④根据功率恒定，求变力的功，W=Pt.

⑤求出变力F对位移的平均力来计算，当变力F是位移s的线性函数时，平均力．

⑥作出变力F随位移，变化的图象，图象与位移轴所围均“面积”即为变力做的功．

[例]面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a。，密度为水密度的½，质量为m,开始时，木块静止，如图所示，现用力F将木块缓慢地压到水池底，不计摩擦，求：

　(1)从木块刚好完全没人水中到停止在池底的过程中，池水势能的改变量．

　(2)从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F所做的功．

解析:(1)木块刚好没入水中到到达池底的过程中,相当于有相同体积的水从池底到达水面,因木块的密度为水的冗长度的½,故相同体积的水的质量为2m,,故池水势能的改变量为ΔE_P=2mg(H－a);

(2)因水池面积很大,可忽略因木块压入而引起的水深的变化,木块刚好完全没入水中时,图中原来划线区域的水被排开,相当于这部分水平铺于水面,这部分水的质量为m,其势能的改变量为:

木块势能的改变量为:

根据动能定理,力F做的功为:W=ΔE_水+ΔE_木=¼mga.

　(2)又解：从开始到木块完全没入水中的过程，力F所做的功为变力功．也可画出Fs图象，做功在数值上等于Fs图线与位移S轴所围图形的面积的数值，在压下木块过程中，力F与位移s成正比，从开始到完全没入水中，力F的位移为½a，作出F-s图象如图,,据图象可求得做功W=½×½amg=¼mga..

2、多个力的总功求解

①用平行四边形定则求出合外力，再根据w＝F_合scosα计算功．注意α应是合外力与位移s间的夹角．

②分别求各个外力的功：W₁＝F₁ scosα₁， W₂=F₂scosα₂……再求各个外力功的代数和．

[例]物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平右的恒力F_l，经ts后撤去F₁，立即再对它施一水平向左的恒力F₂，又经ts后物体回到原出发点，在这一点过程中，F_l、F₂分别对物体做的功W₁、W₂间的关系是()

　　 A. W₁ = W₂ ；B. W₂＝2 W₁； C. W₂＝3W₁；D. W₂=5 W₁ ；

[解析]认为F₁和F₂使物体在两段物理过程中经过的位移、时间都相等，故认为W₁ = W₂而误选A;

而认为后一段过程中多运动了一段距离而误选B。这都反映了学生缺乏一种物理思想：那就是如何架起两段物理过程的桥梁？很显然，这两段物理过程的联系点是“第一段过程的末速度正是第二段过程的初速度”。由于本题虽可求出返回时的速度，但如果不注意加速度定义式中ΔV的矢量性，必然会出现错误，错误得到其结果v₂＝0，而误选A,其原因就是物体的运动有折返。

解法1：如图,A到B作用力为F₁，BCD作用力为F₂,由牛顿第二定律F=ma，及匀减速直线运动的位移公式S=v_ot－½at²,匀加速直线运动的速度公式v₀=at，设向右为正，AB=S，可得：

　 一S＝v₀t－½a₂t²=(a₁t)t－½a₂t²，S=0+½a₁t²；∴－½a₁t²=a₁t²－½a₂t²；即

∴F₂=3 F₁

　　 A 到 B过程F₁做正功，BCB^/过程F₂的功抵消，B^/到D过程F₂做正功，即W₁＝F₁ S, W₂=F₂S，∴W₂＝3W₁,

解法2：设F₂的方向为正方向，F₁作用过程位移为S，F₁对物体做正功，由动能定理：F₁S=½mv₁²。

在F₂作用的过程中，F₂的位移为一S，与F₂同向，物体回到出发点时速度为v₂，由动能定理得：F₂S=½mv₂²－½mv₁²。由牛顿第二定律得．∴v₂＝2v₁，∴W₂＝3W₁

拓展：若该物体回到出发点时的动能为32J，则F_l、F₂分别对物体做的功W₁、W₂是多少？

由动能定理得：ΔE_K= W₁+W₂=32J，W₁/W₂= F₁/F₂，∴W₁=8J；W₂=24J。

①F：当F是恒力时，我们可用公式W＝Fscosθ运算；当F大小不变而方向变化时，分段求力做的功；当F的方向不变而大小变化时，不能用W＝Fscosθ公式运算(因数学知识的原因)，我们只能用动能定理求力做的功．

②S：是力的作用点通过的位移，用物体通过的位移来表述时，在许多问题上学生往往会产生一些错觉，在后面的练习中会认识到这一点，另外位移S应当弄清是相对哪一个参照物的位移

③功是过程量：即做功必定对应一个过程(位移)，应明确是哪个力在哪一过程中的功．

④什么力做功：在研究问题时，必须弄明白是什么力做的功．如图所示，在力F作用下物体匀速通过位移S则力做功FScosθ，重力做功为零，支持力做功为零，摩擦力做功－Fscosθ，合外力做功为零．

[例1]如图所示，在恒力F的作用下，物体通过的位移为S，则力F做的功为　　　　　　　　　　　　

　解析：力F做功W＝2Fs．此情况物体虽然通过位移为S．但力的作用点通过的位移为2S，所以力做功为2FS．　 答案：2Fs

[例2]如图所示，质量为m的物体，静止在倾角为α的粗糙的斜面体上，当两者一起向右匀速直线运动，位移为S时，斜面对物体m的弹力做的功是多少？物体m所受重力做的功是多少？摩擦力做功多少？斜面对物体m做功多少？

解析：物体m受力如图所示，m有沿斜面下滑的趋势，f为静摩擦力，位移S的方向同速度v的方向．弹力N对m做的功W₁＝N·scos(90⁰+α)＝－ mgscosαsinα，

重力G对m做的功W₂＝G·s cos90⁰=0．摩擦力f对m做的功W3=fscosα=mgscosαsinα．斜面对m的作用力即N和f的合力，方向竖直向上，大小等于mg(m处于平衡状态)，则：　　　　　 w＝F_合scos90⁰＝mgscos90⁰＝o

答案：－ mgscosαsinα，0， mgscosαsinα，0

点评：求功，必须清楚地知道是哪个力的功，应正确地画出力、位移，再求力的功．

[例3]如图所示，把A、B两球由图示位置同时由静止释放(绳开始时拉直)，则在两球向左下摆动时．下列说法正确的是

A、　 绳子OA对A球做正功

B、　 绳子AB对B球不做功

C、　 绳子AB对A球做负功

D、　 绳子AB对B球做正功

解析：由于O点不动，A球绕O点做圆周运动，OA对球A不做功。对于AB段，我们可以想象，当摆角较小时．可以看成两个摆长不等的单摆，由单摆的周期公式就可以看出，A摆将先回到平衡位置．B摆将落后于A摆，AB绳对A球做负功，对B球做正功。答案：CD

扩展与研究：一个力对物体做不做功，是正功还是负功，判断的方法是：①看力与位移之间夹角，或者看力与速度方向之间的夹角：为锐角时，力对物体做正功，在上例中AB的拉力与B球的速度方向就是锐角；为钝角时，力对物体做负功，上例中AB的拉力与A球的速度方向就是钝角。为直角时，力对物体不做功，上例中OA与A球的拉力与A球速度方向就是直角。②看物体间是否有能量转化。若有能量转化，则必定有力做功。此法常用于相连的物体做曲线运动的情况。

规律方法　　　 1、功的计算方法

1.由公式W=Fs cosα求解

两种处理办法：

①W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移scosα,即将物体的位移分解为沿F方向上和垂直F方向上的两个分位移s₁和s₂，则F做的功W＝F s₁＝Fscosα.

②W等于力F在位移s方向上的分力Fcosα乘以物体的位移s，即将力F分解为沿s方向和垂直s方向的两个分力F₁和F₂，则F做功W=F₁s＝Fcosαs.

注意：这种方法只能用来计算恒力做功(轨迹可以是直线也可以是曲线)

[例]如图所示，带有光滑斜面的物体B放在水平地面上，斜面底端有一重G=2 N的金属块A，斜面高，倾角α＝60⁰，用一水平推力F推A，在将A从底端推到顶端的过程中,A和B都做匀速运动，且B运动距离L=30 cm，求此过程中力F所做的功和金属块克服斜面支持力所做的功．

　解析：此题应先求出两个力的大小，再由公式W＝Fscosa求解，如图所示．

由物体平衡条件： F＝Gtanα＝2tan60⁰＝ N，

斜面的水平宽度l=hcotα

由勾股定理得金属块A的位移，

F与s的夹角设为α₂，则，α₂=30⁰

力F做功：W₁=Fscosα₂=或. W₁=Fscosα₂=F(l+L)

F_N与s的夹角α₁=90⁰+(α一α₂)＝90⁰+(60⁰一30⁰)＝120⁰

故克服支持力N所做的功

　 W_N=一F_Nscos120⁰

2、人造天体的发射与变轨

[例3]一组太空人乘坐大空穿梭机，去修理位于离地球表面 6．0×10⁵m的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H．机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里处，如图所示，设G为引力常数，而M_E为地球质量．(已知：地球半径为 6．4×10⁶m)

　　 (1)在穿梭机内，一质量为70kg的太空人的视重是多少？

　　 (2)①计算轨道上的重力加速度的值．

　　　 ②计算穿梭机在轨道上的速率和周期．

(3)①证明穿梭机的总机械能跟成正比，r为它的轨道半径．

［注：若力 F与位移r之间有如下的关系：F=K／r²(其中K为常数)，则当r由∞处变为0，F做功的大小可用以下规律进行计算：　 W＝ K／r(设∞处的势能为0)］．

　　 ②穿梭机须首先螺旋进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以超前望远镜．用上题的结果判所穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减少其原有速率，解释你的答案．

　　 [解析]：(1)在穿梭机内，一质量为70kg的太空人的视重为0．

　　 (2)①因为mg^/＝G［M_Em/(R+h)²］，所以 g^/=GM_E／(R+h)²，其中R＝6．4×10⁶m， h＝6．0×10⁵m．g^/=8．2m／s²

　　 ②地球对穿梭机的万有引力提供向心力．

　　 有：GM_Em/(R+h)²＝mv²/(R+h)=m(2π/T)²(R十h)，

　　 所以v==7．6×10³m／s

　　 T＝＝5．8×10³s．

　　 (3)①因为万有引力 F ＝GM_Em/r²满足F＝k(1／r²)(其中 k＝GM_Em为常数)，由“注”可知，当穿梭机与地球之间的距离由∞处变到r时，万有引力对其所做的功w＝k/r=GM_Em/r，又因为：万有引力对穿梭机做多少功，其重力势能就减小多少，若设∞处的势能为零，则穿梭机在半径为r的轨道上时。其重力势能为E=一GM_Em/r，则穿梭机此时的总机械能E_总=E_P十E_k=一GM_Em/r十½mv²．代入(2)中的v值，得：

E_总=一GM_Em/r十½m(GM_E/r)＝一(GM_Em/2)(1／r)

　　 故穿梭机的总机械能跟一1／r成正比，得证．

　　 因为E_总跟一1／r成正比，故进入低轨道时总机械能要减小，故必须减速，使总机械能减小，当速度减小后，在引力场的作用下进行低轨道运行，因引力做正功，动能增加，低轨道环绕速度v_r^/大于原轨道环绕速度v_r，又因为v＝ωr，v_r^/＞v_r，r^/＜r，则ω_r^/＞ω_r，从而获得较大的角速度，则可能赶上哈勃太空望远镜．

[例4] 如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q)，到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v₁，在P点短时间加速后的速率为v₂，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v₃，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v₄。试比较v₁、v₂、v₃、v₄的大小，并用小于号将它们排列起来______。

解析：根据题意有v₂>v₁、v₄>v₃,而v₁、v₄是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由式②知v₁>v₄,故结论为v₂>v₁>v₄>v₃。卫星沿椭圆轨道由P→Q运行时，由机械能守恒可知，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v₂>v₃。]　　　　　　　　　　　

　　 卫星的回收实际上是卫星发射过程的逆过程。

[例5]在空中飞行了十多年的“和平号”航天站已失去动力，由于受大气阻力作用其绕地球转动半径将逐渐减小，最后在大气层中坠毁，在此过程中下列说法正确的是(　 )

　　 A．航天站的速度将加大　　　　 B．航天站绕地球旋转的周期加大

　　 C．航天站的向心加速度加大　　 D．航天站的角速度将增大

　 [解析]由GMm/r²=mv²/r=mrω²=mr(2π/T)²=ma

　　 得v=，　 ω＝．　 T＝2π

可知r减小，v增大，ω增大，T减小，a增大．A、C、 D正确．

[例6]“神舟三号”顺利发射升空后，在离地面340km的圆轨道上运行了108圈。运行中需要进行多次“轨道维持”。所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是　　　　　　　　　　　　　　

　 　A.动能、重力势能和机械能都逐渐减小

　B.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变

　C.重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变

　D.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小

[由于阻力很小，轨道高度的变化很慢，卫星运行的每一圈仍可认为是匀速圆周运动。由于摩擦阻力做负功所以卫星的机械能减小；由于重力做正功所以重力势能减小；由式②可知卫星动能将增大(这也说明重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的总功为正)。答案选D。]

[例7]飞船发射过程是一个加速过程，在加速过程中，宇航员处于__超重状态____状态。人们把这种状态下的重力与静止在地球表面时的重力的比值称为耐受力值，用K表示，则K=__ K=1+a/g _____(设宇航员的质量为m，加速上升加速度为a)，选择宇般员时，要求他在此状态的耐受值为4≤K≤12，说明飞船发射时的加速度值的变化范围­­­­__3g≤a≤11g _______.

[例8]飞船在发射升空时，如果宇航员是站立的，则他的心血管系统受到何种影响？你认为宇航员采取什么资势为好？

答：由于在发射升空过程中，人处于超衙状态下，头部血压降低，足部血压升高，使大量血液淤积在下肢静脉中，严重影响静脉血的回流，使心脏输出血量不足，造成头部供血不足，轻则引起视觉障碍，重则可能导致意识丧失，所以宇航员采用平躺姿势为好。

[例9]航天飞船进入距地表3R_地的轨道绕地球做圆周运动时，质量为64kg的宇航员处于_完全失重___状态，他的视重为__0___N。实际所受力__40___N。

[例10]若飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站(　 A　 )　　　　

A可以从较低的轨道上加速　　　　　　　　 B可以从较高的轨道上加速

C可以从与空间站同一轨道上加速　　 　　　D无论在什么轨道上，只要加速都行

[例11] 我国的国土辽阔，在东西方向上分布在东经70°到东经135°的广大范围内，所以我国发射的同步通信卫星一般定点在赤道上空3.6万公里，东经100°附近。假设某颗通信卫星计划定点在赤道上空东经104°的位置。经测量刚进入轨道时它位于赤道上空3.6万公里，东经103°处。为了把它调整到104°处，可以短时间启动星上的小型发动机，通过适当调整卫星的轨道高度，改变其周期，从而使其自动“漂移”到预定经度。然后再短时间启动星上的小型发动机调整卫星的高度，实现最终定点。这两次调整高度的方向应该依次是　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 A.向下、向上　　 B.向上、向下　 C.向上、向上　 D.向下、向下

[东经103°在东经104°西边，为使卫星向东漂移，应使它的周期变小，为此应降低其高度，所以先向下；到达东经104°后，再向上。]

[例12]设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示．为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．求该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量，才能返回轨道舱？

　　 已知：返回过程中需克服火星引力做功W＝mgR(1一R/r)，返回舱与人的总质量为m，火星表面重力加速度为g，火星半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r；不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响．

解析：物体m在火星M表面附近时，有＝mg解得GM＝gR²

设轨道舱的质量为m₀，速度大小为v，则

返回舱与轨道舱对接时，应具有的动能为E_k=½mv²

联立解得

依题意知返回舱返回过程需克服引力做功W＝mgR(1－R/r)

返回舱返回时至少需要能量为W_总=E_k + W=

说明：这是一道关于天体运动的信息题．题中有多个对象，解题时要分清研究对象，选好规律．

[例13]2003年10月15日上午9时，我国在酒泉卫星发射中心成功发射“神舟五号”载人航天飞船，这是我国首次实现载人航天飞行，也是全世界第三个具有发射载人航天器能力的国家．“神舟五号”飞船长8. 86 m ;质量为7990 kg.飞船在达到预定的椭圆轨道后运行的轨道倾角为42. 4 ⁰，近地点高度200 km，远地点高度约350 km.实行变轨后，进入离地约350 km的圆轨道上运行，飞船运动14圈后，于16日凌晨在内蒙古成功着陆．(地球半径Ro=-6.4×10⁶ m，地球表面重力加速度g=10 m/s²，··＝5.48，计算结果保留三位有效数字)求：

(1)飞船变轨后在轨道上正常运行时的速度．

(2)飞船在圆轨道上运行的周期．

解析：设飞船的质量为m，地球质量为M.飞船在圆轨道上运行时：

对于地面上质量为m₀的物体有：

由上两式得飞船的运行速度为：

飞船在圆轨道上运行时的周期为：

说明：天体运动的问题，要紧扣两条主线：万有引力提供向心力，重力等于万有引力．

[补例]地球赤道上的N城市想实施一个“人造月亮”计划，在地球同步卫星上用一面平面镜将太阳光射到地球上，使这座城市在午夜时分有“日出”时的效果，若此时的N城市正值盛夏季节，地球的半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，太阳在非常遥远的地方．求

(1)地球同步卫星离地心的距离

　(2)悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经度与N城的经度差α。

(3)此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角θ

解析：(1)设地球及同步卫星的质量分别为M,m，则

又：g＝GM/R²，可得：

　(2)过赤道平面的截面图如图所示，水平入射光线MA经反射后的反射光线AN与地球相切，故∠MAN＝90⁰

　　 卫星所在经线在平面内的投影为OA,N城市所在经线在平面内的投影为ON,

　　 所以：α＝arccos ( R/r)

　　 θ＝45⁰+arcsin(R/r)

说明：本题的关键是理解“午夜万分有‘日出’时的效果”的含义，并要有一定的空间想象力，且能画出截面图，能力要求较高．

试题展示

I．人造卫星做圆轨道和椭圆轨道运行的讨论

　　 当火箭与卫星分离时，设卫星的速度为v(此即为发射速度)，卫星距离地心为r,并设此时速度与万有引力垂直(通过地面控制可以实现)如图所示，则，若卫星以v绕地球做圆周运动，则所需要的向心力为：F_向＝

　①当F_万=F_向时，卫星将做圆周运动．若此时刚好是离地面最近的轨道，则可求出此时的发射速度v＝7.9 km/s.

　②当F_万＜F_向时，卫星将做离心运动，做椭圆运动，远离地球时引力做负功，卫星动能转化为引力势能．(神州五号即属于此种情况)

　③当F_万＞F_向时，卫星在引力作用下，向地心做椭圆运动，若此时发生在最近轨道，则v＜7.9 km/s，卫星将坠人大气层烧毁。

　 因此：星箭分离时的速度是决定卫星运行轨道的主要条件．

2.人造卫星如何变轨

卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术．

以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如图所示，在轨道A点，万有引力F_A＞，要使卫星改做圆周运动，必须满足F_A＝和F_A⊥v，在远点已满足了F_A⊥v的条件，所以只需增大速度，让速度增大到＝F_A，这个任务由卫星自带的推进器完成．

　　 这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道，只要在椭圆轨道的远点由推进器加速，当速度达到沿圆轨道所需的速度，人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道．“神州五号”就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的．

规律方法1、处理人造天体问题的基本思路

　由于运行中的人造天体，万有引力全部提供人造地球卫星绕地球做圆周运动的向心力，因此所有的人造地球卫星的轨道圆心都在地心．解关于人造卫星问题的基本思路：①视为匀速圆周运动处理；②万有引力充当向心力；③根据已知条件选择向心加速度的表达式便于计算；④利用代换式gR²=GM推导化简运算过程。

注意：①人造卫星的轨道半径与它的高度不同．②离地面不同高度，重力加速度不同，

[例l]设人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星离地面越高，则卫星的(　 )

A．速度越大　 B．角速度越大　　 C．向心加速度越大；D．周期越长

　　 解析：(1)v与 r的关系： G= m；即(r越大v越小)．所以答案A错误．(2)ω与r的关系：G=mω²r ，，即(r越大，ω越小)．所以答案B错误．(3)a与r的关系：G=ma，a=GM/r²，即a∝1/r²。卫星绕轨道半径 r运转时的向心加速度与该处的重力加速度g^/相等，所以 g^/＝a， g^/∝1/r²，(r越大．加速度越小)．所以答案C错误．(4)T与r的关系：G=mr ，T=2π即T∝( r越大，T越大)．所以答案D正确．

　　 因 GM＝g₀R₀²，所以 T＝2π，当 r=Ro时，T＝T_min＝2π　　 答案：D

说明：可以看出，绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的轨道半径r、线速度大小v和周期T是一一对应的，其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。离地面越高的人造卫星，线速度越小而周期越大。

[例2]设地球的半径为R₀，质量为m的卫星在距地面R₀高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g₀，则以下说法错误的是(　　 )

A.卫星的线速度为；　　　　 B.卫星的角速度为；

C.卫星的加速度为；　　　　　　 D.卫星的周期；

解析：在地面：;在高空：；

g=¼g₀；此重力加速度即为卫星的向心加速度故C选项错误．

卫星的线速度故A选项正确．

周期故D选项正确

角速度故B选项正确