Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．

（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；

（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．

【答案】(1) y=﹣x2+4x﹣3；(2) 点P的坐标为（，）；(3) .

【解析】分析：（1）将点A、B代入抛物线y=-x 2+ax+b，解得a，b可得解析式； 

（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；

（3）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果． 

详【解析】
（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，

，

解得，a=4，b=﹣3，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；

（2）∵点C在y轴上，

所以C点横坐标x=0，

∵点P是线段BC的中点，

∴点P横坐标xP==，

∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，

∴yP=﹣3=，

∴点P的坐标为（，）；

（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，

∴点C的纵坐标为2×﹣0=，

∴点C的坐标为（0，），

∴BC==，

∴sin∠OCB===．

点睛：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，解直角三角形，勾股定理，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键．

【题型】解答题
【结束】
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如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F．

（1）求证：△ACF∽△DAE；

（2）若S△AOC=，求DE的长；

（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．

Answer 1