Question

已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.

(1)求a,b的值;

(2)若对任意的t∈R,不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)<0恒成立,求k的取值范围.

Answer 1

解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,

∴f(0)=0,即=0,

解得b=1.

从而有f(x)=.

又由f(1)=-f(-1)知=-,

解得a=2.

经检验a=2适合题意,

∴所求a、b的值为2,1.

(2)由(1)知f(x)==-+.

由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.

又因f(x)是奇函数,

从而不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)<0,

等价于f(t²-2t)<-f(2t²-k)=f(-2t²+k).

因f(x)是减函数,

所以由上式推得t²-2t>-2t²+k.

即对一切t∈R有3t²-2t-k>0.

从而判别式Δ=4+12k<0,

解得k<-.

故k的取值范围为(-∞,-).