Question

已知二次函数f（x）=tx²+2tx（t≠0）
（Ⅰ）求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若t=1，记S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，a_n＞0），点在函数f（x）的图象上，求S_n的表达式．

Answer 1

【答案】分析：（I）对t分类讨论，结合根的判别式，即可求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）利用点在函数f（x）的图象上，可得，化简可得{}是首项为2，公比为3的等比数列，从而可求S_n的表达式．
解答：解：（Ⅰ）f（x）＞1即：tx²+2tx-1＞0，
①t＞0时，方程tx²+2tx-1=0的判别式△=4t²+4t＞0----（1分）
方程两根为----（2分）
解集是----（3分）
②t＜0时，方程tx²+2tx-1=0的判别式△=4t²+4t
（1）当4t²+4t≤0，即-1≤t＜0时，解集是φ----（4分）
（2）当4t²+4t＞0即t＜-1时，解集是----（5分）
综上所述，t＞0时，解集是；-1≤t＜0时，解集是φ；t＜-1时，解集是----（6分）
（Ⅱ）由题意，f（x）=x²+2x
∵点在函数f（x）的图象上，
∴----（7分）
整理得
∴
∴----（9分）
∴，
又，----（10分）
所以{}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴
∴----（12分）
点评：本题考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查数列与函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．