Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求证：两函数的图象交于不同的两点A，B；
（2）求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）联立两个函数的方程得 ax²+2bx+c=0．所以△=4（a+）²+3c²．∵a+b+c=0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0．，
∴△＞0，即两函数的图象交于不同的两点
（2）由题意得|A₁B₁|²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=∵a+b+c=0，a＞b＞c，a＞0，c＜0，∴a＞-a-c＞c所以∈（-2，-）．
再根据二次函数的性质求得A₁B₁²∈（3，12），故A₁B₁∈（）
解答：解：（1）由消去y，得 ax²+2bx+c=0．
△=4b²-4ac=4（-a-c）²-4ac=4（a²+ac+c²）=4（a+）²+3c²．
∵a+b+c=0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0．
∴c²＞0，∴△＞0，即两函数的图象交于不同的两点．
（2）设方程ax²+2bx+c=0的两根为x₁和x₂，则x₁+x₂=-，x₁x₂=．
|A₁B₁|²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=
=．
∵a+b+c=0，a＞b＞c，a＞0，c＜0，
∴a＞-a-c＞c，解得∈（-2，-）．
∵的对称轴方程是，且当∈（-2，-）时，为减函数，
∴A₁B₁²∈（3，12），故A₁B₁∈（）．
点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，不等式的性质也略有体现，在高考中以基础题型出现．