Question

对任意正偶数n，求证：

1-+-+…+-=2（++…+）.

Answer 1

分析：注意n为正偶数，可设n=2k，第一步证n=2时命题成立，归纳假设n=2k（k∈N^*）等式成立，与它连续的是2k+2，相当于由k到k+1，应注意体会数学归纳法的这种变形使用.

证明：（1）当n=2时，等式左边=1-=，等式右边=2（）=.

∴左边=右边，等式成立.

（2）假设n=2k（k∈N^*）时

1-+-+…+-=2（++…+）等式成立.

当n=2k+2时，（k∈N^*）

1-+-+…+-+-

=2（++…+）+-

=2（++…+++）+--+

-

=2［++…+］.

∴对n=2k+2，（k∈N^*）等式成立.

由（1）（2）知对一切正偶数n=2k（k∈N^*），等式成立.