设，，其中是常数，且．
（1）求函数的极值；
（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立；
（3）设，且，证明：对任意正数都有：．

定义域为的函数，其导函数为．若对，均有，则称函数为上的梦想函数．
（Ⅰ）已知函数，试判断是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的取值范围；
（Ⅲ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的最大整数值．

已知函数
（1）当时，讨论函数的单调性：
（2）若函数的图像上存在不同两点，设线段的中点为，使得在点处的切线与直线平行或重合，则说函数是“中值平衡函数”，切线叫做函数的“中值平衡切线”。试判断函数是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由.

设函数，．
⑴ 求不等式的解集；
⑵ 如果关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

已知函数.
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若,对都有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：（且）.

已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，讨论函数在区间上的单调性；
（Ⅲ）证明不等式对任意成立．

已知函数，其中e为自然对数的底数，且当x>0时恒成立．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求实数a的所有可能取值的集合；
（Ⅲ）求证：.

已知函数（为常数）．
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）若，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．