已知中心在坐标原点焦点在轴上的椭圆C,其长轴长等于4,离心率为．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点(0,1), 问是否存在直线与椭圆交于两点,且？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.

如图，已知F₁、F₂分别为椭圆C₁：的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₂：的焦点，点A是曲线C₁，C₂在第二象限的交点，且

（Ⅰ）求椭圆₁的方程；
（Ⅱ）已知P是椭圆C₁上的动点，MN是圆C：的直径，求的最大值和最小值.

如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于两点M，N  (点M在点N的右侧），且。椭圆D：的焦距等于，且过点

( I ) 求圆C和椭圆D的方程；
(Ⅱ) 若过点M的动直线与椭圆D交于A、B两点，若点N在以弦AB为直径的圆的外部，求直线斜率的范围。

如图，已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、．点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点．设直线、的斜率分别为、．

（i）证明：；
（ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上．若椭圆上的点到焦点、的距离之和等于4．
（1）写出椭圆的方程和焦点坐标．
（2）过点的直线与椭圆交于两点、，当的面积取得最大值时，求直线的方程．

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相切，直线与轴交于点，当为何值时的面积有最小值？并求出最小值.

已知椭圆C：的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设斜率为1的直线l与椭圆C相交于，两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设y_P，y_Q分别为点P，Q的纵坐标，且．求△ABM的面积．

已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)已知点，设点是椭圆上任一点，求的取值范围.

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且过双曲线的顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）命题：“设、是双曲线上关于它的中心对称的任意两点， 为该双曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值”．试类比上述命题，写出一个关于椭圆的类似的正确命题，并加以证明和求出此定值；
（3）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.

设是椭圆的左焦点，直线方程为，直线与轴交于点，、分别为椭圆的左右顶点，已知，且．
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求三角形面积．