23．已知：如图，△ABC中，点O是AC上边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，

MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

(1)求证EO＝FO．

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．

[提示](1)证明OE＝OC＝OF；

(2)O点的位置首先满足四边形AECF是平行四边形，然后证明它此时也是矩形．

[答案](1)∵　 CE平分∠BCA，

∴　 ∠BCE＝∠ECO．

又　 MN∥BC，

∴　 ∠BCE＝∠CEO．

∴　 ∠ECO＝∠CEO．

∴　 OE＝OC．

同理　 OC＝OF．

∴　 OE＝OF．

(2)当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形，证明如下：

∵　 OE＝OF，又O是AC的中点，

即　 OA＝OC，

∴　 四边形AECF是平行四边形．

∵　 CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD，且∠BCA+∠ACD＝180°，

∴　 ∠ECF＝∠ECO+∠OCF＝(∠BCA+∠ACD)＝90°．

∴　 □AECF是矩形．

22．如图(1)，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S_△DMC、S_△DAC和S_△DBC分别

表示△DMC、△DAC、△DBC的面积．当AB∥CD时，有

S_△DMC＝　 　　　　①

(1)如图(2)，若图(1)中AB∥CD时，①式是否成立？请说明理由．

(2)如图(3)，若图(1)中AB与CD相交于点O时，S_△DMC与S_△DAC和S_△DBC有何种相等关系？证明你的结论．

图(1)　　　　　 图(2)　　　　　 图(3)

[提示]△DAC，△DMC 和△DBC 同底CD，通过它们在CD 边上的高的关系，来确定它们面积的关系．

[答案](1)当AB∥CD时，①式仍成立．

分别过A、M、B作CD的垂线，AE、MN、BF的垂足分别为E、N、F．

∵　 M为AB的中点，

∴　 MN＝(AE+BF)．

∴　 S_△DAC+S_△DBC＝DC·AE+DC·BF＝DC·(AE+BF)＝2 S_△DMC．

∴　 S_△DMC＝

(2)对于图(3)有S_△DMC＝．

证法一：∵　 M是AB的中点，S_△ADM＝S_△BDM，S_△ACM＝S_△BCM，

S_△DBC＝S_△BDM+S_△BCM+S_△DMC，　 　　　　　　　　　①

S_△DAC＝S_△ADM+S_△ACM－S_△DMC　　　　　　　　　　 ②

①－②得：S_△DBC－S_△DAC＝2 S_△DMC

∴　 S_△DMC＝．

证法二：如右图，过A作CD的平行线l，MN⊥l，垂足为N，BE⊥l，垂足为E．设A、M、B到CD的距离分别h₁、h₀、h₂．则MN＝h₁+h₀，BE＝h₂+h₁．

∵　 AM＝BM，

∴　 BE＝2 MN．

∴　 h₂+h₁＝2(h₁+h₀)，

∴　 h₀＝．

∴　 S_△DMC＝．

21．如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN为定角a，

连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则∠CME与∠CNF在M、

N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论．

[提示]BD为正方形ABCD的对称轴，

∴　 ∠1＝∠3，∠2＝∠4，

用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC+∠FNC．

[答案]∵　 BD为正方形ABCD的对称轴，

∴　 ∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∴　 ∠EMC＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1．

同理　 ∠FNC＝180°－2∠2．

∴　 ∠EMC+∠FNC＝360°－2(∠1+∠2)．

∵　 ∠MCN＝180°－(∠1+∠2)，

∴　 ∠EMC+∠FNC总与2∠MCN相等．

因此∠EMC+∠FNC始终为定角，这定角为∠MCN的2倍．

20．已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上．

求证：AE、AF把∠BAC三等分．

[提示]证出∠CAE＝30°即可．

[答案]连结BD，交AC于点O，作EG⊥AC，垂足为G点．

∵　 四边形AEFC为菱形，

∴　 EF∥AC．

∴　 GE＝OB．

∵　 四边形ABCD为正方形，

∴　 OB⊥AC，

∴　 OBGE，

∵　 AE＝AC，OB＝BD＝AC，

∴　 EG＝AE，

∴　 ∠EAG＝30°．

∴　 ∠BAE＝15°．

在菱形AEFC中，AF平分∠EAC，

∴　 ∠EAF＝∠FAC＝∠EAC＝15°

∴　 ∠EAB＝∠FAE＝∠FAC．

即AE、AF将∠BAC三等分．

19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AB、CD的中点，ME∥AN交BC于点E，求证AM＝NE．

[提示]延长AN交BC延长线于点F．证明NE为△ABF的中位线．

[答案]延长AN交BC的延长线于点F，

∵　 DN＝CN，∠AND＝FNC，

又由AD∥BC，得∠ADN＝∠FCN，

∴　 △ADN≌△FCN．

∴　 AN＝NF．

∵ 　AM＝BM且ME∥AF，

∴　 BE＝EF．

∴　 NE为△ABF的中位线，

∴　 NE＝AB＝AM．

18．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF+PG＝AB．

[提示]延长GP交BC于H，只要证PH＝PF即可，所以只要证∠PBF＝∠PBH．

[答案]∵　 BE＝DE，

∴　 ∠EBD＝∠EDB．

∵　 在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴　 ∠DBC＝∠ADB，

∴　 ∠EBD＝∠CBD．

延长GP交BC于H点．

∵　 PG⊥AD，

∴　 PH⊥BC．

∵　 PF⊥BE，P是∠EBC的平分线上．

∴　 PF＝PH．

∵　 四边形ABHG中，

∠A＝∠ABH＝∠BHG＝∠HGA＝90°．

∴　 四边形ABHG为矩形，

∴　 AB＝GH＝GP+PH＝GP+PF

故　 PF+PG＝AB．

17．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，过C作CE∥AB且CE＝AB，连结

DE交BC于F．求证：DF＝EF．

[提示]连结AE交BC于O，要证DF＝EF，因为AD∥BC，所以只要证OA＝OE，只要证四边形ABEC为平行四边形．

[答案]连结AE交BC于O点，

∵　 CEAB，

∴　 四边形ABEC为平行四边形，

∴　 OA＝OE．

又　 AD∥BC，

∴　 DF＝EF．

16．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．现将A，C重合，使纸片

折叠压平，设折痕为EF，试求AF的长和重叠部分△AEF的面积．

[提示]把AF取作△AEF的底，AF边上的高等于AB＝3．

由折叠过程知，EF经过矩形的对称中心，FD＝BE，AE＝CE＝AF．由此可以在

△ABE中使用勾股定理求AE，即求得AF的长．

[答案]如图，连结AC，交EF于点O，

由折叠过程可知，OA＝OC，

∴　 O点为矩形的对称中心．E、F关于O点对称，B、D也关于O点对称．

∴　 BE＝FD，EC＝AF，

由EC折叠后与EA重合，

∴　 EC＝EA．

设AF＝x，则BE＝FD＝AD－AF＝4－x，AE＝AF＝x．

在Rt△ABE中，由勾股定理，得

AB²+BE²＝AE²，即　 3²+(4－x) ²＝x²．

解得　 x＝．

∴　 S_△AEF＝×3×＝(cm²)

故AF的长为cm，△AEF的面积为cm²．

15．如图，一个等腰梯形的两条对角线互相垂直，且中位线长为l，求这个等腰梯形的高．

[提示]如下图，过B点作AC的平行线．

[答案]过B作BG∥AC，交DC的延长线于G点．

在梯形ABCD中，AB∥DC，

∴　 四边形ABGC为平行四边形．

∴　 CG＝AB，BG＝AC．

∵　 EF为梯形中位线，

∴　 DG＝DC+AB＝2 EF＝2 l．

∵　 AC⊥BD且AC＝BD．

∴　 BG⊥BD且BG＝BD．

∴　 △BDG为等腰直角三角形．

∴　 高BH＝DG＝l．

13． [答案]55．　　　　　　　 14． [答案]．