2．射线AP和射线PA是同一条射线(　　 )

1．经过三点中的每两个，共可以画三条直线(　　 )

(六)解答题(每小题5分，共30分)

29．如图，线段AB被点C、D分成了3︰4︰5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm，求AB的长．

[提示]引入未知数，列方程求解．[答案]60 cm．

设一份为x cm，则AC＝3 x cm，CD＝4 x cm，DB＝5 x cm．

∵　 M是AC的中点，

∴　 CM＝AC＝x cm．

∵　 N是DB的中点，

∴　 DN＝DB＝x cm．

∵　 MN＝MC+CD+DN，

又　 MN＝40 cm，

∴ 　x+4 x+x＝40，

　　　　　　　　　　　　8x＝40．

∴ 　　　 x＝5．

∴ 　AB＝AC+CD+DB＝12 x＝12×5＝60(cm)．

30．一个角的补角与20°角的和的一半等于这个角的余角的3倍，求这个角．

[提示]两角互余和为90°，两角互补和为180°．设这个角为x°，列方程求解．

[答案]68°．

设这个角为x°，根据题意得

(180°－x+20°)＝3(90°－x)，

100°－x＝270°－3 x，

x＝170°，

∴ 　　　　　 　x＝68°，

即这个角为68°．

31．如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠EOD，∠COE＝100°，求∠AOD和∠AOC的度数．

[提示]由∠COE＝100°，OB平分∠EOD，可求出∠BOD的度数，进而求出∠AOD和∠AOC的度数．

[答案]∠AOD＝140°，∠AOC＝40°．

计算过程如下：

∵ 　∠COD＝180°，∠COE＝100°(已知)，

∴ 　∠EOD＝∠COD－∠COE＝180°－100°＝80°．

∵ 　OB平分∠EOD(已知)，

∴ 　∠BOD＝∠EOD＝×80°＝40°(角平分线定义)．

∵ 　∠AOB＝180°(平角定义)，

∴ 　∠AOD＝∠AOB－∠BOD＝180°－40°＝140°，

∠AOC＝∠COD－AOD＝180°－140°＝40°．

[点评]由计算可知，∠BOC＝∠COE+∠EOB＝100°+40°＝140°．

∴ 　∠AOD＝∠BOC，又知∠AOC＝∠BOD，这是一种偶然的巧合，还是必然的结果？在第二章“相交线、平行线”中可揭开这个谜．

32．如图，∠AOC、∠BOD都是直角，且∠AOB与∠AOD的度数比是2︰11，求∠AOB和∠BOC的度数．

[提示]设∠AOB＝x°，∠BOC＝y°，列方程组求解．

[答案]∠AOB＝20°，∠BOC＝70°．

计算过程如下：

∵ 　∠AOC、∠BOD都是直角(已知)，

∴ 　∠AOB+∠BOC＝90°，∠COD+∠BOC＝90°(直角的定义)．

∴ 　∠AOB＝∠COD(同角的余角相等)．

设∠AOB＝∠COD＝x° ，∠BOC＝y°．

由题意得

即　　

解得

即∠AOB＝20°，∠BOC＝70°．

33．考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．

(1)按1︰100 000画出考察队行进路线图．

(2)量出∠PAC、∠ACP的度数(精确到1°)．

(3)测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？(精确到0.1千米)．

[提示]比例尺＝图上距离︰实际距离，先根据1︰100 000的比例尺算出PA的图上距离，然后再画图．

[答案](1)考察队行进的路线图如右图所示．

(2)量得∠PAC＝105°，∠ACP＝45°．

(3)算得AC≈3.5千米；PC≈6.8千米．

略解如下：

(1)算出PA的图上距离，由5千米＝500 000厘米．

∴ 　＝．

∴ 　PA＝5厘米．

(3)量得AC≈3.5厘米，PC＝6.8厘米．

∴ 　AC的实际距离约为：3.5厘米×100 000＝350 000厘米＝3.5千米；

PC的实际距离约为：6.8厘米×100 000＝680 000厘米＝6.8千米．

34．已知直角∠AOB，以O为顶点，在∠AOB的内部画出100条射线，则以OA、OB及这些射线为边的锐角共有多少个？若以O为项点，在∠AOB的内部画出几条射线(n≥1的自然数)，则OA、OB以及这些射线为边的锐角共有多少个？

[提示]在∠AOB的内部，以O为顶点，画1，2，3，4条射线，数数各有多少个锐角，找出规律，再计算100条射线、n条射线所构成的锐角的个数．

[答案]5 150个锐角；个锐角．

1条射线　 1+1＝2(个锐角)，

2条射线　 2+2+1＝5(个锐角)，

3条射线　 3+3+2+1＝9(个锐角)，

4条射线　 4+4+3+2+1＝14(个锐角)，

……

100条射线 　100+100+99+98+…+3+2+1

＝100+

＝100+5 050

＝5 150(个锐角)，

n条射线 　 n+n+(n－1)+(n－2)+…+3+2+1

＝n+

＝(个锐角)．

[点评]数锐角的个数与数线段的条数一样，以OA为始边，另一条射线为角的终边依次去数，这样可不遗漏不重复地将要数的锐角个数数准确．注意∠AOB是直角，故这个角不在计数的范围内．

若题目改成：已知∠AOB，以O为顶点，在∠AOB的内部画出n条射线，n为非零自然数，以OA、OB以及这些射线为边的角共有多少个？

答案是：共有个角．

(五)画图题(第26小题4分，第27小题5分，第28小题6分，共15分)

26．已知：线段a、b、c(b＞c)，作线段AB，使AB＝2a－(b－c)．

[提示]AB＝2a－(b－c)＝2a+c－b．

[答案]方法一：

量得　 a＝20 mm，b＝28 mm，c＝18 mm．

AB＝2a－(b－c)＝2×20－(28－18)＝40－5＝35(mm)．

画线段AB＝35 mm(下图)，

则线段AB就是所要画的线段．

方法二：

画法如下(如上图)：

(1)画射线AM．

(2)在射线AM上依次截取AC＝CD＝a，DE＝c．

(3)在线段EA上截取EB＝b．

则线段AB就是所要画的线段．

27．已知∠a ，∠b ，画∠AOB，使∠AOB＝2∠a+∠b

[提示]方法一：先量、后算、再画；

方法二：叠加法，逐步画出．

[答案]方法一：

量得∠a ＝25°，∠b ＝54°，

∠AOB＝2∠a +∠b ＝2×25°+54°＝50°+54°＝104°．

画∠AOB＝69°，则∠AOB就是所要画的角．

方法二：

画法：

(1)画∠AOC＝∠a ，

(2)以O为顶点，OC为一边在∠AOC的外部画∠COD＝∠a ．

(3)以O为顶点，OD为一边在∠AOD的外部画∠DOE＝∠b ．

则∠AOB就是所要画的角．

28．读句画图，填空：

(1)画线段AB＝40 mm；(2)以A为顶点，AB为一边，画∠BAM＝60°；

(3)以B为顶点，BA为一边，在∠BAM的同侧画∠ABN＝30°，AM与BN相交于点C；(4)取AB的中点G，连结CG；(5)用量角器量得∠ACB＝______度；(6)量得CG的长是_____mm，AC的长是_____mm，图中相等的线段有________．

[提示]按语句的顺序，抓住概念用语(如线段、角等)和位置术语(如以……为顶点，在……同侧等)依次画图．

[答案]90，20，20．　　 AC＝CG＝AG＝BG．

(四)计算题(每小题3分，共9分)

23．118°12′－37°37′×2．

[提示]先算乘，再求差．[答案]42°58′．

计算过程如下：

118°12′－37°37′×2＝118°12′－75°14′＝117°72′－75°14′＝42°58′．

24．132°26′42″－41.325°×3．

[提示]将132°26′42″化成以“度”为单位的量再计算；

或将41.325°×3的积化成“度”、“分”、“秒”后再算．

[答案]解法一　 132°26′42″－41.325°×3＝132.445°－123.975°＝8.47°．

解法二　 132°26′42″－41.325°×3＝132°26′42″－123.975°

＝132°26′42″－123°58′30″＝131°86′42″－123°58′30″＝8°28′12″．

[点评]在“度”、“分”、“秒”的混合运算中，若将“分”、“秒”化成度，则可将“度”“分”“秒”的计算转化成小数运算，免去繁杂的“进位”或“退位”．提高运算速度和正确率．

25．360°÷7(精确到分)．

[提示]按四舍五入取近似值，满30″或超过30″即可进为1″．

[答案]约为51°26′．

计算过程如下：

360°÷7＝51°+3°÷7＝51°+25′+5′÷7

＝51°+25′+300″÷7≈51°+25′+43″≈51°26′．

(三)选择题(每小题3分，共24分)

15．已知线段AB＝10 cm，AC+BC＝12 cm，则点C 的位置是在：①线段AB 上；②线段AB 的延长线上；③线段BA 的延长线上；④直线AB 外．其中可能出现的情况有( 　 )(A)0种 (B)1种 (C)2种 (D)3种

[提示]用数形结合的方式考虑．[答案]D．

若点C在线段AB上，如下左图，则AC+BC＝AB＝10 cm．与AC+BC＝12 cm不合，故排除①．

若点C 在线段AB 的延长线上，如右图，AC＝11 cm，BC＝1 cm，则AC+BC＝11+1＝12(cm)，符合题意．

若点C 在线段BA 的延长线上，如下左图，AC＝1 cm，BC＝11 cm，则AC+BC＝1+11＝12(cm)，符合题意．

若点C在直线AB外，如上右图，则AC+BC＝12(cm)，符合题意．

综上所述：可能出现的情况有3种，故选D．

16．分别在线段MN的延长线和MN的反向延长线上取点P、Q，使MP＝2NP．MQ＝2MN．则线段MP 与NQ 的比是……………………………(　 )

(A)　　　 (B)　　　 (C)　　　 (D)

[提示]根据条件画出符合题意的图形，以形助思．[答案]B．

根据题意可得下图：

解法一：

∵　 MP＝2NP，∴　 N是MP的中点．∴ 　MP＝2MN．

∵　 MQ＝2MN，∴　 NQ＝MQ+MN＝2MN+MN＝3MN．

∴　 MP∶NQ＝2MN∶3MN＝2∶3＝．

解法二：

设MN＝x．∵　 MP＝2NP，∴　 N是MP的中点．∴　 MP＝2MN＝2x．

∵　 MQ＝2MN＝2x，∴　 NQ＝MQ+MN＝2MN+MN＝3MN＝3x．

∴　 MP∶NQ＝2MN∶3MN＝2 x∶3 x＝．　　 故选B．

17．一条直线可以将平面分成两部分，两条直线最多可以将平面分成四部分，三条直线最多可以将平面分成n 部分，则n 等于………………………( 　 )

(A)6　　　　 (B)7　　　　 (C)8　　　　　 (D)9

[提示]画图探索．

一条线　　　　　　 两条直线　　　 　　　　　　　　 三条直线

[答案]B．

[点评]平面内一条直线将平面分成两部分，记作a₁＝1+1＝2；

平面内两条直线将平面最多分成四部分，记作a₂＝1+1+2＝4；

平面内三条直线将平面最多分成七部分，记作a₃＝1+1+2+3＝7；

平面内四条直线将平面最多分成几部分？由图可知，共可分成11个部分，记作a₄＝1+1+2+3+4＝11．

若平面上有n条直线，最多可将平面分成多少部分，此时n条直线的相对位置如何？

从前面的分析不难推出平面上有n 条直线时，最多可将平面分成a_n＝1+1+2+3+4+…+n＝1+＝个部分，此时每两条直线都相交，且没有三条直线交于一点．

18．若互补两角有一条公共边，则这两个角的平分线所组成的角………………(　 　)

(A)一定是直角　　 (B)一定是锐角(C)一定是钝角　 (D)是直角或锐角

[提示]分两种情况：①互补两角有公共顶点，有一条公共边没有重叠部分；②互补两角有公共顶点有一条公共边有重叠部分．[答案]D．

如图：

19．已知 、都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果．这个正确结果是………………(　　 )

(A)30°　　 (B)35°　　　 (C)60°　　　　 (D)75°

[提示]列不等式求解．[答案]C．

∵　 　、都是钝角，∴　 180°＜＜360°．∴　 36°＜＜72°．

∵　 30°、35°、75°都不在此等圆内，仅60°属此等圆．

∴　 选C．

20．如图，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝30°．图中互补的角有……(　　 )

(A)10对　　　　 (B)4对　　　　 (C)3对　　　　　 (D)4对

[提示]两个角的和为180°，这两个角叫互为补角．补角的概念仅与角的大小有关而与角的位置无关．[答案]B．

原因如下：

∵　 ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝30°

∴　 ∠AOE+∠AOC＝120°+60°＝180°，

∠AOE+∠BOD＝120°+60°＝180°，

∠AOE+∠COE＝120°+60°＝180°，

∠AOD+∠BOE＝90°+90°＝180°．

∴　 ∠AOE 与∠AOC、∠AOE 与∠BOD、∠AOE 与∠COE、∠AOD 与∠BOE 是4对互补的角．

21．∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是…………………………(　　 )

(A) 　　(B)∠1　　 (C)　　 (D)∠2

[提示]将已知条件反映到图形上，运用数形结合的方法观察图形，便知结果，或根据互补、互余的定义进行推理．

[答案]C．

由图可知：

∠2的余角＝∠1－90°＝∠1－＝∠1－∠1－∠2＝．

或：

∵　∠1、∠2互为补角，∴　∠1+∠2＝180°．

∴　∠2的余角＝90°－∠2＝－∠2＝∠1+∠2－∠2＝．故选C．

22．设时钟的时针与分针所成角是a 　，则正确的说法是………………………(　 　)

(A)九点一刻时，∠a 是平角　　(B)十点五分时，∠a 是锐角

(C)十一点十分时，∠a 是钝角　　(D)十二点一刻时，∠a 是直角

[提示]时钟的时针1小时转30°，1分转0.5°；分针1小时转360°，1分转6°，还可画图，以形助思．

[答案]B．

7．如图，图中有________条直线，有________条射线，有________条线段，以E为顶点的角有________个．

[提示]直线没有端点，可向两方无限延伸．射线有一个端点，可向一方无限延伸，线段有两个端点，不延伸．直线上一点将一条直线分成两条射线．直线上两点和它们之间的部分是线段．

[答案]1，9，12，4．

12条线段分别是：线段AF、AD、FD、DC、DB、CB、BE、BF、EF、CE、CA、EA．

8．如图，点C、D在线段AB 上．AC＝6 cm，CD＝4 cm，AB＝12 cm，则图中所有线段的和是________cm．

[提示]1．数出图中所有的线段；2．算出不同线段的长度；3．将所有线段的长度相加，得和．[答案]40．

9．线段AB＝12.6 cm，点C 在BA 的延长线上，AC＝3.6 cm，M 是BC 中点，则AM 的长是________cm．

[提示]画出符合题意的图形，以形助思．[答案]4.5．

∵　 BC＝AB+AC，M是BC中点，

∴　 AM＝CM－AC＝BC－AC＝(AB+AC)－AC＝(AB－AC)

＝(12.6－3.6)＝4.5(cm)．

[点评]在进行线段长度计算时，可是对其表达式进行变形、最后将值代入，求出结果．这样可简化计算，提高正确率．

10．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝146°，则∠BOC＝________°．

[提示]∠BOC＝360°－∠AOB －∠AOD －∠DOC．[答案]34．

11．如图，OB 平分∠AOC．且∠2∶∠3∶∠4＝3∶5∶4，则∠2＝________°，

∠3＝________°，∠4＝________°．

[提示]1周角＝360°．设1份为x°，列方程求解．[答案]72；120；96．

12．∠A与∠B互补，∠A与∠C互余，则2∠B－2∠C＝________°．

[提示]∠A+∠B＝180°．∠A+∠C＝90°．代入要求的式子，化简即得．

[答案]180°．

∵　 ∠A+∠B＝180°，∠A+∠C＝90°，∴　 ∠B＝180°－∠A．

∴　 2∠B－2∠C＝2(180°－∠A)－2∠C＝360°－2∠A－2∠C

＝360°－2(∠A+∠C)＝360°－2×90°＝180°．

[点评]由已知可得关于∠A、∠B、∠C的方程组，此时不能确定∠B、∠C的大小，但只要将两式的两边分别相减，使得∠B－∠C＝90°，2∠B－2∠C便不难求得．这种整体代入的思想是求值题中常用的方法．

13．已知：∠ 　的余角是52°38′15″，则∠ 的补角是________．

[提示]分步求解：先求出∠ 的度数，再求∠ 的补角的度数．[答案]142°38′15″．

∵　 ∠的余角是52°38′15″，

∴　 ∠＝90°－52°38′15″＝89°59′60″－52°38′15″＝37°21′45″．

∴　 ∠的补角＝180°－37°21′45″＝179°59′60″－37°21′45″

＝142°38′15″．

[点评]题中∠a 　只起过渡作用，可考虑到而不求，作整体代入．

∵　 ∠a 　＝ 90°－52°38′15″，

∴　 ∠a 的补角＝180°－∠a 　＝180°－(90°－52°38′15″)

　　　　　　　　　　 　＝90°+52°38′15″ ＝142°38′15″．

这样避开了单位换算，利于提高运算速度及正确率．

若将已知条件反映到如图所示的图形上，运用数形结合的思想观察图形，则一目了然．一般地，已知∠a 　的余角，求∠a 　的补角，则∠a 　的补角＝90°+∠a 　的余角，即任一锐角的补角比它的余角大90°．利用这个结论解该题就更准确、快捷．

14．由2点30分到2点55分，时钟的时针旋转了________度，分针旋转了________度，此刻时针与分针的夹角是________度．

[提示]分针1小时旋转360°，1分旋转6°，时钟1小时旋转30°，1分旋转0.5°．[答案]12.5，150，117.5．

(一)判断题(每小题1分，共6分)：

1．经过一点可以画无数条直线，经过两点可以画一条直线，经过三点可以画三条直线…………………………………………………………(　　 )

[提示]错的是第三句话，因为三点可在一条直线上，也可不在一条直线上，当三点在一条直线上时(我们称之三点共线)，经过这三点只可以画一条直线．[答案]×．

2．两条直线如果有两个公共点，那么它们就有无数个公共点…………………(　　 )

[提示]两点确定唯一的直线．[答案]√．

3．射线AP与射线PA的公共部分是线段PA……………………………………(　　 )

[提示]线段是射线的一部分．[答案]如图：显然这句话是正确的．

4．线段的中点到这条线段两端点的距离相等……………………………………(　　 )

[提示]两点的距离是连结两点的线段的长度．[答案]√．

5．有公共端点的两条射线叫做角…………………………………………………(　　 )

[提示]角是有公共端点的两条射线组成的图形．[答案]×．

6．互补的角就是平角………………………………………………………………(　　 )

[提示]如图，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫平角．平角是一个量数为180°的角．[答案]×．

(7题)

[点评]互补两角的和是180°，平角为180°．就量数来说，两者是相同的，但从“形”上说，互补两角不一定有公共顶点，故不一定组成平角．所以学习概念时，一定要注意区别它们的不同点，以免混淆．

(六)解答题(每小题5分，共30分)

29．如图，线段AB被点C、D分成了3︰4︰5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40 cm，求AB的长．

30．一个角的补角与20°角的和的一半等于这个角的余角的3倍，求这个角．

《线段、角》提高测试

31．如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠EOD，∠COE＝100°，求∠AOD和∠AOC的度数．

32．如图，∠AOC、∠BOD都是直角，且∠AOB与∠AOD的度数比是2︰11，求∠AOB和∠BOC的度数．

33．考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．

(1)按1︰100 000画出考察队行进路线图．

(2)量出∠PAC、∠ACP的度数(精确到1°)．

(3)测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？(精确到0.1千米)．

34．已知直角∠AOB，以O为顶点，在∠AOB的内部画出100条射线，则以OA、OB及这些射线为边的锐角共有多少个？若以O为项点，在∠AOB的内部画出几条射线(n≥1的自然数)，则OA、OB以及这些射线为边的锐角共有多少个？

《线段、角》提高测试　 答案

(五)画图题(第26小题4分，第27小题5分，第28小题6分，共15分)

26．已知：线段a、b、c(b＞c)，作线段AB，使AB＝2a－(b－c)．

27．已知∠a ，∠b ，作∠AOB，使∠AOB＝2∠a+∠b

28．读句画图，填空：

(1)画线段AB＝40 mm；

(2)以A为顶点，AB为一边，画∠BAM＝60°；

(3)以B为顶点，BA为一边，在∠BAM的同侧画∠ABN＝30°，AM与BN相交于点C；(4)取AB的中点G，连结CG；(5)用量角器量得∠ACB＝______度；

(6)量得CG的长是_____mm，AC的长是_____mm，图中相等的线段有________．