Question

14．如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线y=ax²+bx+c经过点（-1，-4），下列结论：①b²＞4ac；②ax²+bx+c≥-6；③若点（-2，m），（-5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax²+bx+c=-4的两根为-5和-1，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对②进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-3，则根据二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y=ax²+bx+c上的点（-1，-4）的对称点为（-5，-4），则可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b²-4ac＞0，
即b²＞4ac，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为（-3，-6），
即x=-3时，函数有最小值，
∴ax²+bx+c≥-6，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-3，
而点（-2，m），（-5，n）在抛物线上，
∴m＜n，所以③错误；
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点（-1，-4），
而抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴点（-1，-4）关于直线x=-3的对称点（-5，-4）在抛物线上，
∴关于x的一元二次方程ax²+bx+c=-4的两根为-5和-1，所以④正确．
故选C．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．