Question

6．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．
（1）求证：DE⊥FG；
（2）连接CG，判断四边形CBEG的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长ED交AC于M，如图，根据旋转的性质得△ABC≌△DBE，则∠1=∠2，由于∠1+∠A=90°，则∠2+∠A=90°，于是可判断DE⊥AC，接着根据平移的性质得AC∥FG，所以DE⊥FG；
（2）利用旋转的性质得BC=BE，∠CBE=90°，利用平移的性质得BC=GE，CG=BE，则CB=BE=GE=CG，加上∠CBE=90°，于是根据正方形的判定方法可判断四边形CBEG为正方形．

解答 （1）证明：延长ED交AC于M，如图，
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，
∴△ABC≌△DBE，
∴∠1=∠2，
而∠1+∠A=90°，
∴∠2+∠A=90°，
∴∠AME=90°，
∴DE⊥AC，
∵△ABC沿射线平移至△FEG，
∴AC∥FG，
∴DE⊥FG；
（2）四边形CBEG为正方形．理由如下：
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，
∴BC=BE，∠CBE=90°，
∵△ABC沿射线平移至△FEG，
∴BC=GE，CG=BE，
∴CB=BE=GE=CG，
而∠CBE=90°，
∴四边形CBEG为正方形．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的判定和平移的性质．