Question

13．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；
（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．

解答 解：（1）∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B（3，2），
∵F为AB的中点，
∴F（3，1），
∵点F在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
∴k=3，
∴该函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$（x＞0）；

（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（$\frac{k}{2}$，2），F（3，$\frac{k}{3}$），
∴S_△EFA=$\frac{1}{2}$AF•BE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$k（3-$\frac{1}{2}$k），
=$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{12}$k²
=-$\frac{1}{12}$（k²-6k+9-9）
=-$\frac{1}{12}$（k-3）²+$\frac{3}{4}$，
在边AB上，不与A，B重合，即0＜$\frac{k}{3}$＜2，解得0＜k＜6，
∴当k=3时，S有最大值．
S_最大值=$\frac{3}{4}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．