Question

3．如图，在直角梯形ABON中，AN∥BO，∠ANO=90°，点A恰好在线段OB垂直平分线上，P为ON上一点，∠OPB=∠OAB，OA、OB交于点M，若ON=3，求OP+PB的值．

Answer 1

分析 过点A作AD⊥OB于D，交PB于点E，连接OE，则AD∥NO，AD=ON=3，由线段垂直平分线的性质得出OA=AB，得出OD=BD，∠OAD=∠BAD，证出∠BAD=∠ABM，得出AE=BE，证出DE是△OPB的中位线，得出E是PB的中点，得出PB=2AE，得出OP+PB=2AD即可．

解答 解：过点A作AD⊥OB于D，交PB于点E，连接OE，如图所示：
则AD∥NO，AD=ON=3，
∵点A恰好在线段OB垂直平分线上，
∴OA=AB，
∴AD为∠OAB的平分线，OD=BD，
∴∠OAD=∠BAD，
∵AD∥ON，
∴∠POM=∠OAD，
又∵OA⊥PB，∠OPB=∠OAB，
∴∠POM=∠ABM，
∴∠BAD=∠ABM，
∴AE=BE，
∵OD=BD，AD∥ON，
∴DE是△OPB的中位线，
∴OP=2DE，E是PB的中点，
∴PB=2BE=2AE，
∴OP+PB=2（DE+AE）=2AD=6．

点评 本题考查了直角梯形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线；熟练掌握直角梯形和线段垂直平分线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．