Question

2．在湖心有一座塔，小明想知道这座塔的高度，于是他在岸边架起了测角仪．他测量得数据如下（如图示）：测角仪位置（P）距水平面（l）的距离为1.5米（即OP），测得塔顶A的仰角为α（其中tanα=$\frac{1}{3}$），测得塔顶在水中倒影A₁（即AB=A₁B）的俯角为30⁰．那么这座塔的高度AB=3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．（结果保留根号）

Answer 1

分析 易得HB=OP，构造仰角和俯角所在的直角三角形，可利用AH表示出PH长，进而利用30°的正切值表示出A₁H，利用AB=A₁B即可求得AH长，加上BH值即为塔的高度．

解答 解：作PH⊥AB交AB于点H．
由题意可知：四边形OPBH为矩形，
∴HB=OP=1.5．
在Rt△APH中，tanα=$\frac{1}{3}$，
令AH=k，PH=3k．
在Rt△A₁PH中，∠A₁PH=30°，
∴A₁H=PH•tan30°=$\sqrt{3}$，
又AB=A₁B，得：k+1.5=$\sqrt{3}$，
解得：k=$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=AH+HB=3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（米）．
答：这座塔的高度是（3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．