Question

4．如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AE等于弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据圆周角定理及垂直的定义得到∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，从而得到∠BAD=∠C，然后利用等弧对等角等知识得到AF=BF，从而证得FA=FG，判定等腰三角形；
（2）成立，证明方法同（1）．

解答 解：（1）等腰三角形；
∵BC为直径，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵$\widehat{AE}=\widehat{AB}$，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD，
∴AF=BF，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，
∴∠DAC=∠AGB，
∴FA=FG，
∴△FAG是等腰三角形；
（2）成立；
∵BC为直径，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵$\widehat{AE}=\widehat{AB}$，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD，
∴AF=BF，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠ABE+∠AGB=90°，
∴∠DAC=∠AGB，
∴FA=FG，
∴△FAG是等腰三角形．

点评 本题考查了圆的综合知识及垂径定理、勾股定理等知识，解题的过程中注意等腰三角形的判定与圆的知识的结合，难度不大．