Question

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O的面积是4πcm²（用含π的式子表示）．

Answer 1

分析 首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，解方程求出半径，再求出圆的面积即可．

解答 解：连OD，OE，OF，如图所示，
设半径为r．则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，CD=r．
∵∠C=90°，BC=5cm，AC=12cm，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=13cm，
∴BE=BF=（5-r）cm，AF=AD=（12-r）cm，
∴5-r+12-r=13，
∴r=2．即Rt△ABC的内切圆半径为2cm
∴△ABC的内切圆⊙O的面积=π×2²=4π（cm²），
故答案为：4πcm²．

点评 此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理．此题让我们记住一个结论：直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半．