Question

12．已知，平行四边形ABCD中，点E在DC边上，且DE=3EC，AC与BE交于点F；
（1）如果$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，那么请用$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$来表示$\overrightarrow{AF}$；
（2）在原图中求作向量$\overrightarrow{AF}$在$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形法则，易得$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，再由三角形法则，可求得$\overrightarrow{AC}$，又由DE=3EC，CD∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可得$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{5}$，继而求得答案；
（2）首先过点F作FM∥AD，FN∥AB，根据平行四边形法则即可求得答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD=BC，CD∥AB且CD=AB，
∴$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，
又∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，
∴$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow a+\overrightarrow b$，
∵DE=3EC，
∴DC=4EC，
又∵AB=CD，
∴AB=4EC，
∵CD∥AB，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AB}{EC}=4$，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{5}$，
∴$AF=\frac{4}{5}AC$，
∴$\overrightarrow{AF}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{4}{5}（\overrightarrow a+\overrightarrow b）=\frac{4}{5}\overrightarrow a+\frac{4}{5}\overrightarrow b$；

（2）如图，过点F作FM∥AD，FN∥AB，则$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$分别是向量$\overrightarrow{AF}$在$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$方向上的分向量．

点评 此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．