分析 【小试牛刀】根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
【知识运用】（1）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，从而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．
（2）连接CD，作CD的垂直平分线角AB于P，P即为所求；设AP=x千米，则BP=（40-x）千米，分别在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通过PC=PD建立方程，解方程即可．
【知识迁移】根据轴对称-最短路线的求法即可求出．
解答 解：【小试牛刀】S梯形ABCD=$\frac{1}{2}$a（a+b），
S△ABC=$\frac{1}{2}$b（a-b），
S四边形AECD=$\frac{1}{2}$c2，
则它们满足的关系式为：$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c2
故答案为：$\frac{1}{2}$a（a+b），$\frac{1}{2}$b（a-b），$\frac{1}{2}$c2，$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c2．
【知识运用】（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴BC=AE，CE=AB，
∴DE=AD-AE=25-16=9千米，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+4{0}^{2}}$=41（千米），
∴两个村庄相距41千米．
故答案为：41．
（2）如图2②所示：
设AP=x千米，则BP=（40-x）千米，
在Rt△ADP中，DP2=AP2+AD2=x2+242，
在Rt△BPC中，CP2=BP2+BC2=（40-x）2+162，
∵PC=PD，
∴x2+242=（40-x）2+162，
解得x=16，
即AP=16千米．
【知识迁移】：如图3，
代数式$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（16-x）^{2}+81}$的最小值为：$\sqrt{（9+3）^{2}+1{6}^{2}}$=20．
点评 本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．
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如图，AB∥CD，EF交AB于G，交CD于H，PH平分∠EHD，交AB于P，∠AGE=50°，解决下列问题：查看答案和解析>>
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已知，平行四边形ABCD中，点E在DC边上，且DE=3EC，AC与BE交于点F；查看答案和解析>>
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如图，AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，则∠AEC=96°．
