Question

7．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8．BC=6，点P以每秒1个单位的速度从
A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都
停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（Ⅰ）在运动过程中，请你用t表示P、Q两点间的距离，并求出P、Q两点间的距离
的最大值；
（Ⅱ）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分Q在AB边上与Q在BC边上，分别如图1和图2所示，表示出PQ的长，当Q与B重合时，PQ取得最大值，求出即可；
（Ⅱ）分两种情况考虑：当Q在AB边上时，如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积为S_△AQP；当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积为S_{四边形ABQP}，分别表示出S与t的函数关系式即可．

解答 解：（Ⅰ）分两种情况考虑：
当Q在AB边上时，过Q作QE⊥AC，交AC于点E，连接PQ，如图1所示：

∵∠C=90°，
∴QE∥BC，
∴△ABC∽△AQE，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{QE}{BC}$，
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
根据勾股定理得：AB=10，
∵AQ=2t，AP=t，
∴$\frac{2t}{10}$=$\frac{t+PE}{8}$=$\frac{QE}{6}$，
整理得：PE=$\frac{3}{5}$t，QE=$\frac{6}{5}$t，
根据勾股定理得：PQ²=QE²+PE²，
整理得：PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$t；
当Q在BC边上时，连接PQ，如图2所示：

由AB+BQ=2t，AB=10，得到BQ=2t-10，CQ=BC-BQ=6-（2t-10）=16-2t，
由AP=t，AC=8，得到PC=8-t，
根据勾股定理得：PQ=$\sqrt{P{C}^{2}+Q{C}^{2}}$=$\sqrt{（16-2t）^{2}+（8-t）^{2}}$，
当Q与B重合时，PQ的值最大，
则当t=5时，PQ最大值为3$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）分两种情况考虑：
当Q在AB边上时，如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积为S_△AQP，
此时S=$\frac{1}{2}$AP•QE=$\frac{1}{2}$t•$\frac{6}{5}$t=$\frac{3}{5}$t²（0＜t≤5）；
当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积为S_{四边形ABQP}，
此时S=S_△ABC-S_△PQC=$\frac{1}{2}$×8×6-$\frac{1}{2}$（8-t）（16-2t）=-t²+16t-40（5＜t≤8）．
综上，经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式为$\left\{\begin{array}{l}{s=\frac{3}{5}{t}^{2}（0＜t≤5）}\\{s=-{t}^{2}+16t-40（5＜t≤8）}\end{array}\right.$．

点评 此题考查了动点问题的函数图象，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及三角形面积求法，利用了分类讨论的思想，分类讨论时考虑问题要全面，做到不重不漏．