Question

20．在⊙O中，弦AB=4，AC=2$\sqrt{6}$，半径为2$\sqrt{2}$，则∠BAC=75°或15°．

Answer 1

分析 分两弦在圆心的同旁和两旁讨论，求出∠BAO、∠CAO的度数，即可求出答案．

解答 解：①两弦在圆心的两旁，过O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OA
∵AB=4，AC=2$\sqrt{6}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=2，AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{6}$，
根据直角三角形中三角函数的值可知：sin∠AOD=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOD=60°，
∴∠DAO=30°，
∵sin∠AOE=$\frac{AE}{OA}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠AOE=45°，
∴∠BAO=45°，
∴∠BAC=∠DAO+∠BAO=30°+45°=75°；
②当两弦在圆心的同旁的时候就是15°证法同①．
故答案为：75°或15°．

点评 本题考查了垂径定理的应用，关键是画图，图形可以帮助学生直观简单的理清题意，然后利用垂径定理和特殊角的三角函数求解即可，注意本题有两种情况．