Question

9．如图，△ABC是等腰直角三角形，斜边AD⊥x轴于D，顶点A，C在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，再作等腰Rt△CDE，使直角顶点E在该函数图象上，顶点D在x轴的正半轴上，则点E的坐标是（$\sqrt{3}$+1，$\sqrt{3}$-1）．

Answer 1

分析 作EH⊥x轴于H，作CF∥x轴交AB于F，交EH于Q，如图，根据等腰直角三角形的性质得CF⊥AB，AF=CF，设A（t，$\frac{2}{t}$），则AF=CF=$\frac{1}{t}$，得到C（t+$\frac{1}{t}$，$\frac{1}{t}$），利用反比例函数图象上点的坐标特征得t+$\frac{1}{t}$）•$\frac{1}{t}$=2，解得t₁=1，t₂=-1（舍去），所以C（2，1），接着证明△CEQ≌△EDH得到CQ=EH，设E（a，$\frac{2}{a}$），则EH=$\frac{2}{a}$，Q（a，1），CQ=a-2，所以a-2=$\frac{2}{a}$，然后解方程求出a的值即可得到E点坐标．

解答 解：作EH⊥x轴于H，作CF∥x轴交AB于F，交EH于Q，如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，斜边AB⊥x轴于B，
∴CF⊥AB，AF=CF，
设A（t，$\frac{2}{t}$），则AF=CF=$\frac{1}{t}$，
∴C（t+$\frac{1}{t}$，$\frac{1}{t}$），
∵C在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，
∴t+$\frac{1}{t}$）•$\frac{1}{t}$=2，解得t₁=1，t₂=-1（舍去），
∴C（2，1），
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴EC=ED，∠CED=90°，
∴∠CEQ+∠DEH=90°，
而∠CEQ+∠ECQ=90°，
∴∠DEH=∠ECQ，
在△CEQ和△EDH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CQE=∠EHD}\\{∠ECQ=∠DEH}\\{CE=ED}\end{array}\right.$，
∴△CEQ≌△EDH，
∴CQ=EH，
设E（a，$\frac{2}{a}$），则EH=$\frac{2}{a}$，Q（a，1），
∴CQ=a-2，
∴a-2=$\frac{2}{a}$，
整理得a²-2a-2=0，解得a₁=$\sqrt{3}$+1，a₂=-$\sqrt{3}$+1（舍去），
∴E点坐标为（$\sqrt{3}$+1，$\sqrt{3}$-1）．
故答案为（$\sqrt{3}$+1，$\sqrt{3}$-1）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形．