Question

1．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的长是宽的2倍，求矩形的长和宽．

Answer 1

分析 根据矩形性质得PN∥BC，PQ=DE，则可证明△APN∽△ABC，根据相似的性质得$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，设PQ=x，则ED=x，AE=AD-DE=8-x，然后分类讨论：当PN=2PQ时，即PN=2x，则$\frac{2x}{12}$=$\frac{8-x}{8}$；当PN=$\frac{1}{2}$PQ时，即PN=$\frac{1}{2}$x，则$\frac{\frac{1}{2}x}{12}$=$\frac{8-x}{8}$，再分别解方程求出x，从而可得到矩形的长与宽．

解答 解：如图，
∵四边形PQMN为矩形，
∴PN∥BC，PQ=DE，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$，
设PQ=x，则ED=x，AE=AD-DE=8-x，
当PN=2PQ时，即PN=2x，则$\frac{2x}{12}$=$\frac{8-x}{8}$，解得x=$\frac{24}{7}$，所以2x=$\frac{48}{7}$，此时矩形的长、宽分别为$\frac{48}{7}$，$\frac{24}{7}$；
当PN=$\frac{1}{2}$PQ时，即PN=$\frac{1}{2}$x，则$\frac{\frac{1}{2}x}{12}$=$\frac{8-x}{8}$，解得x=6，所以$\frac{1}{2}$x=3，此时矩形的长、宽分别为6，3；
所以矩形的长、宽分别为$\frac{48}{7}$cm，$\frac{24}{7}$cm或6cm，3cm．

点评 本题考查了相似三角形的应用：在实际问题中抽象出几何图形，通过证明三角形相似，利用相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．