Question

3．小明从家去体育场锻炼，同时，妈妈从体育场以50米/分的速度回家，小明到体育场后发现要下雨，立即返回，追上妈妈后，小明以250米/分的速度回家取伞，立即又以250米/分的速度折回接妈妈，并一同回家．如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数图象．
（注：小明和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走，图象上A、C、D三点在一条直线上）
（1）求线段BC的函数表达式；
（2）求点D坐标，并说明点D的实际意义；
（3）当 x的值为10或30时，小明与妈妈相距1 500米．

Answer 1

分析 （1）根据路程=速度×时间结合体育场离家3000米即可得出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出线段BC的表达式；
（2）根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的表达式，由时间=路程÷速度结合点C的横坐标即可得出点E的坐标，根据路程=速度×时间即可得出直线ED的表达式，联立AC、ED的表达式成方程组，解之即可得出点D的坐标，再说出点D的实际意义即可；
（3）根据速度=路程÷时间即可求出小明去体育场的速度，由路程=速度×时间即可求出线段OB的表达式，根据OB、AC、BC的表达式结合小明与妈妈相距1500米即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）∵45×50=2250（米），3000-2250=750（米），
∴点C的坐标为（45，750）．
设线段BC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
把（30，3000）、（45，750）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=3000}\\{45k+b=750}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-150\\ b=7500\end{array}\right.$，
∴线段BC的函数表达式y=-150x+7500（30≤x≤45）．
（2）设直线AC的函数表达式为：y=k₁x+b₁，
把（0，3000）、（45，750）代入y=k₁x+b₁，
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=3000}\\{45{k}_{1}+{b}_{1}=750}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-50}\\{{b}_{1}=3000}\end{array}\right.$．
∴直线AC的函数表达式为y=-50x+3000．
∵750÷250=3（分钟），45+3=48，
∴点E的坐标为（48，0）．
∴直线ED的函数表达式y=250（x-48）=250x-12000．
联立直线AC、ED表达式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-50x+3000}\\{y=250x-12000}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=50}\\{y=500}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标为（50，500）．
实际意义：小明将在50分钟时离家500米的地方将伞送到妈妈手里．
（3）∵3000÷30=100（米/分钟），
∴线段OB的函数表达式为y=100x（0≤x≤30），
由（1）线段BC的表达式为y=-150x+7500，（30≤x≤45）
当小明与妈妈相距1500米时，即-50x+3000-100x=1500或100x-（-50x+3000）=1500或（-150x+7500）-（-50x+3000）=1500，
解得：x=10或x=30，
∴当x为10或30时，小明与妈妈相距1500米．
故答案为：10或30．

点评 本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．