Question

4．已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF=∠B，直线CF交直线AB于点M．
（1）求∠B的余弦值；
（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；
（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

分析 （1）连接BD、AC交于点O，作AH⊥BC于H，由菱形的性质得出AO=OC=3，BO=4，由△ABC的面积求出AH=$\frac{24}{5}$，由勾股定理得出BH，即可得出结果；
（2）由菱形的性质得出∠FAC=∠ACB，证出△ABC∽△ECF，得出对应边成比例$\frac{AB}{CE}$=$\frac{AC}{EF}$，求出EF，由平行线得出△MBC∽△MAF，得出$\frac{BM}{AM}$=$\frac{BC}{AF}$=$\frac{25}{36}$，即可得出结果；
（3）作EM⊥BC于M，作EG∥BC交CF于G，由（1）知cos∠B=$\frac{7}{25}$，BE=x，得出BM=$\frac{7}{25}$x，由勾股定理得出EM=$\frac{24}{25}$x，CE=$\sqrt{E{M}^{2}+M{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{14}{5}x+25}$，由平行线得出∠GEC=∠ECB，$\frac{BC}{EG}=\frac{BM}{ME}$，证出△BCE∽△CEG，得出对应边成比例$\frac{BC}{CE}=\frac{CE}{EG}$，得出EG=$\frac{C{E}^{2}}{BC}$=$\frac{5{x}^{2}-14x+125}{25}$，代入比例式即可得出y关于x的函数解析式为y=$\frac{125}{5x-14}$（$\frac{14}{5}$＜x≤5）．

解答 解：（1）连接BD、AC交于点O，作AH⊥BC于H，如图1所示：
则AO=OC=3，BO=4，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AH=$\frac{1}{2}$AC×BO=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
∴$\frac{1}{2}$×5×AH=12，
解得：AH=$\frac{24}{5}$，
由勾股定理得：BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∴cos∠B=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{\frac{7}{5}}{5}$=$\frac{7}{25}$；
（2）当点E与点A重合时，符合题意的图形，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠FAC=∠ACB，
∵∠ECF=∠B，
∴△ABC∽△ECF，
∴$\frac{AB}{CE}$=$\frac{AC}{EF}$，即$\frac{5}{6}$=$\frac{6}{EF}$，
解得：EF=$\frac{36}{5}$，
∵BC∥AF，
∴△MBC∽△MAF，
∴$\frac{BM}{AM}$=$\frac{BC}{AF}$=$\frac{5}{\frac{36}{5}}$=$\frac{25}{36}$，
∴$\frac{BM}{BM+5}$=$\frac{25}{36}$，
解得：BM=$\frac{125}{11}$；
（3）作EH⊥BC于H，作EG∥BC交CF于G，如图3所示：
由（1）知cos∠B=$\frac{7}{25}$，BE=x，
∴BH=$\frac{7}{25}$x，EH=$\sqrt{B{E}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-（\frac{7}{25}x）^{2}}$=$\frac{24}{25}$x，
∴CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{（5-\frac{7}{25}x）^{2}+（\frac{24}{25}x）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{14}{5}x+25}$，
∵EG∥BC，
∴∠GEC=∠ECB，$\frac{BC}{EG}=\frac{BM}{ME}$，
∴△BCE∽△CEG，
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{CE}{EG}$，
则EG=$\frac{C{E}^{2}}{BC}$=$\frac{5{x}^{2}-14x+125}{25}$，
∴$\frac{5}{\frac{5{x}^{2}-14x+125}{25}}=\frac{y}{x+y}$，
整理得：y=$\frac{125}{5x-14}$，
即y关于x的函数解析式为y=$\frac{125}{5x-14}$（$\frac{14}{5}$＜x≤5）．

点评 本题是相似形综合题目，考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要运用勾股定理和证明三角形相似得出比例式才能得出结果．