Question

4．二次函数y=ax²+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点A（0，1），B（1，-2）和C（3，-2）．
（1）求二次函数表达式；
（2）若m＞n＞2，比较m²-4m与n²-4n的大小；
（3）将抛物线y=ax²+bx+c平移，平移后图象的顶点为（h，k），若平移后的抛物线与直线y=x-1有且只有一个公共点，请用含h的代数式表示k．

Answer 1

分析 （1）把A、B、C点坐标分别代入y=ax²+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先确定抛物线对称轴方程，然后二次函数的性质，当m＞n＞2，m²-4m+1＞n²-4n+1，整理得到m²-4m＞n²-4n；
（3）设平移后的抛物线的表达式为y=（x-h）²+k，由于直线y=x-1与抛物线有且只有一个公共点，则说明方程x-1=（x-h）²+k有两个相等的实数根，然后把方程整理为一般式后△=0即可得到h与k的关系式．

解答 解：（1）∵抛物线过点A（0，1），B（1，-2）和C（3，-2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a+b+c=-2}\\{9a+3b+c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=1}\end{array}\right.$
∴抛物线解析式为y=x²-4x+1；
（2）∵y=（x-2）²-3，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵m＞n＞2，
∴m²-4m+1＞n²-4n+1，
∴m²-4m＞n²-4n；
（3）设平移后的抛物线的表达式为y=（x-h）²+k，
∵直线y=x-1与抛物线有且只有一个公共点，
∴方程x-1=（x-h）²+k有两个相等的实数根．
整理得x²-（2h+1）x+h²+k+1=0，
∴△=（2h+1）2-4（h²+k+1）=0，
∴k=h-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了抛物线与直线的交点问题．