Question

【题目】如图，中，，，点在边上运动（不与点，重合），以为边作正方形，使点在正方形内，连接，则下列结论：①；②当时，；③点到直线的距离为；④面积的最大值是．其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

过点F作FH⊥AB于点H，过点E作EG⊥CA延长线于点G，根据题意可得在△BCD与△ECD中有BD=ED，CD=CD，但无法得到BC=EC或∠EDC=∠BDC，故△BCD与△ECD不一定全等，故①错误；先推出∠ACB=30°，再由此得出AC=a，再根据CD=2AD，即可得出tan∠ADB=，可得∠ADB=60°，由此即可得出∠ADE=30°，故②正确；先证明△FHB≌△BAD，根据全等三角形的性质可得FH=a，故③正确；先证明△EGD≌△DAB，设CD=x，

用含x的代数式表达S△CDE，再根据二次函数的性质可得△CDE面积最大值是a2，故④正确．

如图所示，

过点F作FH⊥AB于点H，过点E作EG⊥CA延长线于点G，

∵四边形BDEF为正方形，

∴BD=DE=EF=BF，∠FBD=∠BDE=∠BFE=90°，

在△BCD与△ECD中有BD=ED，CD=CD，而无法得到BC=EC或∠EDC=∠BDC，

∴△BCD与△ECD不一定全等，故①错误；

∵∠BAC=90°，AB=BC=a，

sin∠ACB===，即∠ACB=30°，

tan∠ACB=tan30°===，

∴AC=a，

又CD=2AD，

∴AD=(AD+CD)=AC=a，

∴tan∠ADB===，

∴∠ADB=60°，

又∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°，

∴∠ADE=90°-∠ADB=90°-60°=30°，故②正确；

∵FH⊥AB，

∴∠FHB=90°，∠HFB+∠HBF=90°，

又∠FBD=∠HBF+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠HFB，

在△FHB与△BAD中有：，

∴△FHB≌△BAD(AAS)，

∴FH=BA=a，

∴F到直线AB的距离为FH=a，故③正确；

∵EG⊥CA，

∠EGD=90°，

∴S△CDE=CD×EG，

∵∠BDE=∠ADB+∠GDE=90°，∠GED+∠GDE=90°，

∴∠GED=∠ADB，

在△EGD与△DAB中有：，

∴△EGD≌△DAB(AAS)，

∴EG=AD，

∴AC=AD+CD=EG+CD===a，

∴AD=EG=a-CD，

设CD=x，则AD=EG=a-x，

S△CDE=x(a-x)

=x2+ax

=(x2-ax)

=(x-a)2+a2

∴关于x的二次函数图象开口向下，

当x=CD=a时S△CDE取最大值为a2，

∴△CDE面积最大值是a2，故④正确；

∴其中正确的结论是②③④，

故答案为：②③④．