Question

6．已知关于x的一元二次方程mx²-（m-1）x-1=0．
（1）求证：这个一元二次方程总有两个实数根；
（2）若x₁，x₂是关于x的一元二次方程mx²-（m-1）x-1=0的两根，且$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=2x₁x₂+1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式进行判断；
（2）根据根与系数的关系求出两根之和和两根之积，代入求解．

解答 （1）证明：由题意得，m≠0，
△=（m-1）²-4m×（-1）=（m+1）²，
∵（m+1）²≥0，即△≥0，
故这个一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：x₁+x₂=$\frac{m-1}{m}$，x₁x₂=-$\frac{1}{m}$，
∵$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=2x₁x₂+1，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2x₁x₂+1，
∴$\frac{（\frac{m-1}{m}）^{2}-2•（-\frac{1}{m}）}{-\frac{1}{m}}$=2•（-$\frac{1}{m}$）+1，
整理得，m²+m-1=0，
∴m=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或m=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了根的判别式：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．