Question

12．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）已知∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数；
（2）设∠B=α，∠C=β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式$\frac{1}{2}$（β-α）．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后求解即可．
（2）同（1）即可得出结果．

解答 解：（1）∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∵AD是高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-40°=10°；
（2）∵∠B=α，∠C=β（α＜β），
∴∠BAC=180°-（α+β），
∵AE是角平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$（α+β），
∵AD是高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-α，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-α-[90°-$\frac{1}{2}$（α+β）]=$\frac{1}{2}$（β-α）；
故答案为：$\frac{1}{2}$（β-α）．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．